定理3.8　向量组α1，α2，…，αn（n≥2）线性相关的充分必要条件是：该向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示.

证　必要性.因为向量组α1，α2，…，αn线性相关，所以存在一组不全为零的数k1，k2，…，kn，使得

k1α1+k2α2+…+knαn=0

成立.不妨设k1≠0，于是有

即α1可由α2，…，αn线性表示.

充分性.因为向量组α1，α2，…，αn中至少有一个向量可由其余向量线性表示，不妨设αj可由α1，α2，…，αj-1，αj+1，…，αn线性表示，即

αj=k1α1+k2α2+…+kj-1αj-1+kj+1αj+1+…+knαn

则存在一组不全为零的数k1，k2，…，kj-1，-1，kj+1，…，kn，使得

k1α1+k2α2+…+kj-1αj-1+(-1)αj+kj+1αj+1+…+knαn=0

成立，即向量组α1，α2，…，αn线性相关.

定理3.9　设向量组α1，α2，…，αn线性无关，而向量组α1，α2，…，αn，β线性相关，则向量β必可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，且表示式唯一.

证　向量组α1，α2，…，αn，β线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，…，kn，k，使得

k1α1+k2α2+…+knαn+kβ=0　(3.9)

此时必有k≠0，因为如k=0，则式（3.9）即成为

k1α1+k2α2+…+knαn=0

且k1，k2，…，kn不全为零，这与已知的向量组α1，α2，…，αn线性无关矛盾.因此k≠0，从而

即向量β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示.

再证表示式的唯一性.假设β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示为

β=l1α1+l2α2+…+lnαn,β=λ1α1+λ2α2+…+λnαn

则两式相减得

(l1-λ1)α1+(l2-λ2)α2+…+(ln-λn)αn=0

因为已知向量组α1，α2，…，αn线性无关，则必有

l1-λ1=l2-λ2=…=ln-λn=0

即l1=λ1，l2=λ2，…，ln=λn，所以表达式唯一.

定理3.10　设向量组A：α1，α2，…，αs可由向量组B：β1，β2，…，βt线性表示，且s＞t，则向量组A必线性相关.(www.daowen.com)

证　因向量组A可由向量组B线性表示，不妨设

αj=c1jβ1+c2jβ2+…+ctjβt,(j=1,2,…,s)　(3.10)

如果有一组数k1，k2，…，ks使得

k1α1+k2α2+…+ksαs=0　(3.11)

成立，只需证明k1，k2，…，ks不全为零，即得向量组A：α1，α2，…，αs线性相关.

将式（3.10）代入式（3.11），得

k1(c11β1+c21β2+…+ct1βt)

+k2(c12β1+c22β2+…+ct2βt)

+…+ks(c1sβ1+c2sβ2+…+ctsβt)=0　(3.12)

整理，可得

(c11k1+c12k2+…+c1sks)β1

+(c21k1+c22k2+…+c2sks)β2

+…+(ct1k1+ct2k2+…+ctsks)βt=0　(3.13)

要使（3.13）式必成立；可令

此时只需把式（3.14）考虑为以k1，k2，…，ks为未知量的齐次线性方程组（3.14），因为s＞t，故方程组（3.14）有非零解，即有不全为零的数k1，k2，…，ks，使得式（3.14）成立，而式（3.14）成立必有式（3.13）成立；从而存在不全为零的数k1，k2，…，ks使得式（3.12），也就是式（3.11）成立；所以向量组A：α1，α2，…，αs线性相关.

推论1　如果向量组A：α1，α2，…，αs可由向量组B：β1，β2，…，βt线性表示，且向量组A：α1，α2，…，αs线性无关，则s≤t.

推论2　设向量组A：α1，α2，…，αs与向量组B：β1，β2，…，βt等价，且两向量组都线性无关，则s=t.

证　一方面，向量组A可由向量组B线性表示，且向量组A线性无关，由推论1得s≤t.

另一方面，向量组B可由向量组A线性表示，且向量组B线性无关，由推论1得t≤s.综上可得s=t.

[例3.13]　设向量组α1，α2，α3线性相关，且向量组α2，α3，α4线性无关.问

（1）α1能否由α2，α3线性表示.（2）α4能否由α1，α2，α3线性表示.

解　（1）能.向量组α2，α3，α4线性无关，由定理3.6的推论得，α2，α3线性无关；又向量组α1，α2，α3线性相关，由定理3.9即可得α1可由α2，α3线性表示.

（2）不能.如果α4能由α1，α2，α3线性表示，而由（1）知α1可由α2，α3线性表示，那么α4能由α2，α3线性表示，即向量组α2，α3，α4线性相关，与已知矛盾.