向量的概念是平面的二维向量及空间的三维向量的自然推广，通过建立坐标系使一个矢量与它的坐标（即有序数组）一一对应起来，从而把矢量的运算转化为有序数组（即坐标）的代数运算，这样的推广在线性代数中极为重要.

首先我们将二、三元有序数组推广到更一般的n元有序数组，从而建立n元向量的概念.

定义3.2　由n个数a1，a2，…，an组成的有序数组，称为n元向量（或n维向量），常用α、β、γ等表示n元向量.记为

α=（a1，a2，…，an）　或　α=（a1　a2　…　an）

称以一行这种形式表示的向量为n元行向量；而以一列的形式表示的n元向量

称为n元列向量，也常记为α=（a1，a2，…，an）T.其中ai称为n元向量的第i个分量.以后若不加特别声明，本书中提到的n元向量均指n元列向量.

特别地，分量全为零的向量称为零向量，记作0=（0，0，…，0）T；n元向量

(-a1,-a2,…,-an)T

称为n元向量α=（a1，a2，…，an）T的负向量，记为-α.

显然，一个n元行向量就是一个1×n矩阵；而一个n元列向量就是一个n×1矩阵.

例如，含有n个未知量的线性方程组的解就是一个n元列向量（x1，x2，…，xn）T；线性方程组的第i个方程的未知量的系数即组成一个n元行向量（ai1，ai2，…，ain）；m×n矩阵的每一列都可看作一个m元列向量，而其每一行可看作一个n元行向量.将m个n元行向量按行排列就可构成一个m×n矩阵；同样，将n个m元列向量按列排列也可构成一个m×n矩阵.

设有两个n元向量α=（a1，a2，…，an）T，β=（b1，b2，…，bn）T，若它们的分量都对应相等，即ai=bi，i=1，2，…，n，则称向量α与β相等，记作α=β.

下面给出在2维、3维向量中我们熟知的加法与数乘运算推广至n元向量.(www.daowen.com)

定义3.3　设有两个n元向量α=（a1，a2，…，an）T，β=（b1，b2，…，bn）T，k为实数，n元向量

称为向量α与β的和，记作α+β.n元向量

称为数k与向量α的乘积，记作kα.通常将向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算.

因n元向量其实就是矩阵，且n元向量的加法、数乘运算与矩阵的加法、数乘运算一致，所以n元向量的线性运算满足的规律与矩阵也相同，即有

α+β=β+α,(α+β)+γ=α+(β+γ),α+0=α,α+(-α)=0;

1·α=α,k(lα)=l(kα),k(α+β)=kα+kβ,(k+l)α=kα+lα.

其中α，β，γ是同维向量，0是零向量；k，l是常数.

由定义3.3及上述向量的线性运算规律易得向量的以下性质：

性质1　0·α=0；

性质2　k·0=0，k是常数；

性质3　（-1）·α=-α；

性质4　若k·α=0，则k=0，或α=0.