因为线性方程组与其增广矩阵是一一对应的，所以对线性方程组进行上述的三种同解变换，相当于对该线性方程组的增广矩阵进行对应的三种初等行变换.当线性方程组（Ⅰ）经过若干次消元（即同解变换）得到同解的线性方程组（Ⅱ）时，其过程相当于该线性方程组（Ⅰ）的增广矩阵经过若干次初等行变换得到线性方程组（Ⅱ）的增广矩阵，详见下例.

[例3.1]　求解线性方程组

可得原方程组有唯一解，且为x1=1，x2=2，x3=-2.

由于线性方程组的解与未知量的符号无关，因此利用消元法求解线性方程组完全可用其对应的增广矩阵的初等行变换过程来替代.

[例3.2]　求解线性方程组

解　对方程组的增广矩阵进行初等行变换.

上式最后一个矩阵的第3行对应的方程为0=-3，此为矛盾方程，故原方程组无解.

[例3.3]　求解线性方程组

解　对方程组的增广矩阵进行初等行变换.

原方程组的同解方程组为

即

其中的未知量x2，x4称为自由未知量，x1，x3称为非自由未知量（注：一般取行最简形矩阵非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由未知量），此时可得原方程组有无穷多解；令自由未知量x2=c1，x4=c2，方程组的解可表示为

其中c1，c2为任意常数.以如此形式表示的线性方程组的解习惯上被称为一般解或通解.

从前面的3个实例可以看出，用消元法解线性方程组，实质上就是对该方程组的增广矩阵进行初等行变换至行最简形矩阵.

综上所述，用消元法解线性方程组的一般步骤如下：

（1）写出线性方程组（3.1）的增广矩阵.

（2）对增广矩阵进行初等行变换至行阶最简形矩阵.不妨设的行最简形矩阵为（必要时可重新排列方程中未知量的次序）

此时，该增广矩阵对应的线性方程组为

且方程组（3.2）与方程组（3.1）是同解方程组，及有以下三种情形：

（1）如果方程组（3.2）中的dr+1≠0，则方程组（3.2）无解，从而原方程组（3.1）无解（如例3.2）.

（2）如果方程组（3.2）中的dr+1=0，且r=n时，方程组（3.2）可改写为

此时方程组（3.2）有唯一解，从而原方程组（3.1）有唯一解（如例3.1）.

（3）如果方程组（3.2）中的dr+1=0，且r＜n时，方程组（3.2）可改写为

其中xr+1，…，xn为自由未知量.此时方程组（3.2）有无穷多解，则原方程组（3.1）也有无穷多解.令自由未知量xr+1=k1，…，xn=kn-r，则方程组（3.2）的通解为

其中k1，…，kn-r为任意常数，这也是原方程组（3.1）的通解（如例3.3）.

结合矩阵的秩，可更简练地表达为：

当dr+1≠0时，方程组（3.1）的系数矩阵的秩R（）=r，增广矩阵的秩R（）=r+1，则有R（）≠R（A），此时方程组（3.1）无解.

当dr+1=0时，方程组（3.1）的系数矩阵的秩R（A）=r，增广矩阵的秩R（）=r，则有R（）=R（A），此时方程组（3.1）有解.且当r=n时方程组（3.1）有唯一解；当r＜n时方程组（3.1）有无穷多解.(www.daowen.com)

定理3.2　线性方程组（3.1）有解的充分必要条件是R（A）=R（）.且当R（A）=n时，方程组有唯一解；当R（A）＜n时，方程组有无穷多解，其中n为未知量的个数.（证略）

推论　线性方程组（3.1）无解的充分必要条件是R（A）≠R（）.

[例3.4]　当a，b取何值时，线性方程组

（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解并求解.

解　对方程组的增广矩阵进行初等行变换变成行阶梯形矩阵.

可得：

（1）当a≠-1时，因R（）=R（A）=4，故方程组有唯一解.

（2）当a=-1，b≠0时，因R（A）=2，而R（）=3，故方程组无解.

（3）当a=-1，b=0时，因R（）=R（A）=2＜4，故方程组有无穷多解.原方程组同解于

令自由未知量x3=c1，x4=c2，方程组的解可表示为

其中c1，c2为任意常数.

对于一般形式的齐次线性方程组

其矩阵表示形式为

Am×nXn×1=Om×1

显然方程组（3.3）至少有零解（未知量全为零的解），由定理3.2易得以下结论.

定理3.3　齐次线性方程组（3.3）有非零解的充分必要条件是R（A）＜n.

推论　当m＜n时，齐次线性方程组（3.3）有非零解.

[例3.5]　求解齐次线性方程组

解　方程组的系数矩阵

得R（A）=2＜4，故方程组有非零解.取x2，x4为自由未知量，得同解方程组为

令x2=c1，x4=c2，则方程组的通解为

其中c1，c2为任意常数.

[例3.6]　当λ取何值时，齐次线性方程组

有非零解？

解　方程组的系数矩阵

则当λ=4时，因R（A）=2＜3，故线性方程组有非零解.