在利用消元法解线性方程组的过程中，常用到下面的三种变换：

（1）交换线性方程组中某两个方程；

（2）以一个非零的常数k同时乘以线性方程组中某个方程的两边；

（3）将线性方程组中某个方程的k倍加到另一个方程.

把这种变换的思想方法引入处理矩阵的问题中，就得到了矩阵的初等变换.

定义2.19　下面三种对矩阵的变换，统称为矩阵的初等变换：

（1）交换矩阵的第i，j行（或列），记作ri↔rj（或ci↔cj）；

（2）以数k≠0乘矩阵的第i行（或列），记作kri（或kci）；

（3）矩阵的第i行（或列）的k倍加到矩阵的第j行（或列），其中k为任意常数，记作rj+kri（或cj+kci）.

对矩阵的行实施的初等变换称初等行变换，对矩阵的列实施的初等变换称初等列变换.本书中用符号表示矩阵A经过有限次初等行变换化为矩阵B，用符号A→B表示矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B.

[例2.23]　将矩阵用初等变换化为：（1）行阶梯形矩阵；（2）行最简形矩阵；（3）标准形矩阵.

解　（1）首先，利用初等行变换将A化为行阶梯形矩阵

（2）然后，进一步用初等行变换将B3化为行最简形矩阵

（3）最后，要将B4化为标准形矩阵.注意到只用初等行变换不能实现，故改用初等列变换继续将B4化为标准形矩阵.(www.daowen.com)

定义2.20　如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记为A⇔B.

等价作为矩阵之间的一种关系，易知具有下面三条性质：

（1）反身性：任意矩阵A与自身等价；

（2）对称性：若矩阵A与矩阵B等价，则矩阵B与矩阵A等价；

（3）传递性：若矩阵A与B等价，矩阵B与C等价，则矩阵A与C等价.

从例2.23中可以看到，利用矩阵的初等变换可以把矩阵化为更简单特殊的形式.事实上，有下面的定理成立.

定理2.4　对任意非零矩阵A，

（1）利用有限次初等行变换可以变为行阶梯形矩阵；

（2）利用有限次初等行变换可以变为行最简形矩阵；

（3）利用有限次初等变换可以变为标准形矩阵.

定理2.4的证明是与例2.23相类似的过程.

由此可见，要将某个矩阵化为标准形矩阵，可以先用初等行变换将其化为行阶梯形矩阵，然后用初等行变换化为行最简形矩阵，最后用初等列变换化得标准形矩阵.