定义2.6　设A=（aij）m×s为m×s矩阵，B=（bij）s×n为s×n矩阵，那么矩阵A与B的乘积AB定义为一个m×n矩阵C=（cij）m×n，即

AB=C=(cij)m×n,

其中

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj　(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n).

在使用矩阵乘法定义时，要注意以下三点：

（1）两个矩阵相乘，只有满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘法才有意义；

（2）乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数；

（3）乘积矩阵的第i行第j列的元素等于左矩阵的第i行元素与右矩阵的第j列对应元素的乘积之和.

例如：设矩阵，则它们的乘积

[例2.5]　设矩阵，求M-N.A（M-N）.（M-N）A.AM.AN.

在上例中可以发现：

（1）矩阵乘法一般不满足交换律，即AB一般不等于BA.假如矩阵A与B满足AB=BA，就称矩阵A与B可交换.

（2）两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵，即由AB=O，不一定能得到A=O或B=O.

（3）矩阵乘法一般不满足消去律，即由AM=AN，且A≠O，不一定能得到M=N.

尽管矩阵的乘法运算与数的乘法运算有很大差别，但是矩阵乘法满足以下运算规律：（假设相关运算都有意义）

（1）（AB）C=A（BC）（结合律）.

（2）A（B+C）=AB+AC（左分配律），（A+B）C=AC+BC（右分配律）.

（3）（kA）B=k（AB）=A（kB），其中k是实数.

(4)AO=O,OA=O,AE=A,EA=A.

证　此处只证明（2）中的右分配律，其余运算律类似地可以证得.

设A=（aik）m×l，B=（bik）m×l，C=（ckj）l×n(www.daowen.com)

则

故右分配律成立.

矩阵乘法在解决实际问题中有着广泛的应用.

例如，设n元线性方程组

令

利用矩阵的乘法，方程组（2.2）可以表示为

AX=b,　(2.3)

称式（2.3）为线性方程组（2.2）的矩阵表示式.

又如，设从x1，x2，x3到y1，y2，y3的线性变换

以及从y1，y2，y3到z1，z2，z3的线性变换

则将式（2.5）代入式（2.4），得到x1，x2，x3到z1，z2，z3的线性变换

这一过程可以用线性变换对应的系数矩阵的乘法运算来理解.

如果用矩阵A，B，C分别表示式（2.4）、式（2.5）、式（2.6）的系数矩阵，即

且令

利用矩阵的乘法，式（2.4）可表示为X=AY，式（2.5）可表示为Y=BZ.

于是

X=A(BZ)=(AB)Z,

这就是线性变换（2.6）的矩阵表示式，当然就有C=AB.

用矩阵表示线性方程组、线性变换方便简洁，连续作两次线性变换相当于线性变换对应的矩阵作乘积.