下面讨论几个矩阵在实际问题中应用的例子.

[例2.1]　（运输问题）同一物资的产地为甲、乙共2个，销售地为A，B，C共三个.从产地到销售地的单位运价如表：

则该调运方案的单位运价矩阵为

[例2.2]　（航线问题）设有4个城市的航线关系如图2.1所示.若从城市i到城市j间有一条直飞的单向航线，则令aij=1；若从城市i到城市j间没有直飞的航线，则令aij=0，其中i，j=1，2，3，4，则四个城市之间的航线关系可以用矩阵表示为

图2.1

[例2.3]　（线性变换问题）n个变量x1，x2，…，xn与m个变量y1，y2，…，ym之间的关系式

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表示从变量y1，y2，…，ym到变量x1，x2，…，xn的线性变换，其中aij∈R，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n.由式（2.1）中系数aij构成的矩阵

称为线性变换（2.1）的系数矩阵.

给定了线性变换（2.1），那么系数矩阵就被确定；反之，若给出某个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也被确定.因此，矩阵与线性变换之间存在着一一对应的关系.可以用矩阵来研究线性变换，同样也可以用线性变换来更好地认识矩阵.

例如：线性变换

所对应的系数矩阵就是n阶的对角矩阵

又如：若变量y1，y2，y3到变量x1，x2，x3的线性变换的矩阵为，则表示它对应了线性变换

从上面的应用实例中可以看到，使用矩阵作为工具，就可以把许多实际问题转化为数表，这样就能以更简洁的方式对数据进行研究和处理，从而最终解决问题.