从前面的讨论中已经知道，可以用2或3阶行列式求解二或三元线性方程组，分别得到式（1.4）和式（1.8）.本节中要将此方法推广到用n阶行列式求解含n个未知数n个方程的线性方程组，这就是克拉默（Cramer）法则.

含n个未知数n个方程的线性方程组的一般形式为

当其常数项b1，b2，…，bn不全为零时，称线性方程组（1.30）为非齐次线性方程组.当其常数项b1，b2，…，bn全为零时，即

称为齐次线性方程组.

线性方程组（1.30）的系数aij（i，j=1，2，…，n）构成的行列式D，称为该方程组的系数行列式，即

定理1.5　（克拉默法则）如果线性方程组（1.30）的系数行列式D≠0，则线性方程组（1.30）有唯一解

其中

即Dj是用线性方程组（1.30）的常数项b1，b2，…，bn依次替换系数行列式D的第j列元素得到的n阶行列式.

证*　先证在D≠0的条件下，方程组（1.30）有解.只需验证式（1.32）给出的是方程组（1.30）的解.

由于

其中A1j，A2j，…，Anj为系数行列式D的第j列元素的代数余子式，将

代入方程组（1.30）的第i个方程的左端，得

上述表明是方程组（1.30）的解.

再证若方程组有解，则式（1.32）是线性方程组（1.30）的唯一解.若有一组数c1，c2，…，cn为方程组（1.30）的解，即

则

故(www.daowen.com)

同理可得因此，式（1.32）是方程组（1.30）的唯一解.

[例1.19]　解线性方程组

所以方程组的解为

如果不考虑克拉默法则的求解公式，定理1.5的逆否命题是：如果线性方程组（1.30）无解或有两个不同解，则其系数行列式D=0.

要注意的是克拉默法则只限于研究方程个数与未知数个数相等的线性方程组解的问题，更一般的方程组解的问题将在后面的章节中讨论.

下面研究齐次线性方程组（1.31）的解的问题，易知齐次线性方程组

一定有解且至少有一组零解，即x1=x2=…=xn=0，但不一定有非零解.

定理1.6　如果齐次线性方程组（1.31）的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组（1.31）只有零解.

推论　如果齐次线性方程组（1.31）有非零解，则其系数行列式D=0.

这表明，齐次线性方程组（1.31）的系数行列式D=0是齐次线性方程组（1.31）有非零解的必要条件，应用第三章的知识还可以证明这个条件也是充分的.

事实上，齐次线性方程组（1.31）只有唯一零解的充要条件是其系数行列式D≠0；齐次线性方程组（1.31）有非零解的充要条件是其系数行列式D=0.

[例1.20]　讨论λ为何值时，齐次线性方程组

有非零解.

解　方程组的系数行列式=-（λ+1）（2-λ），因方程组有非零解，即有D=0，所以当λ=-1或λ=2时，方程组有非零解.