定理1.3　n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

或

证*　（1）首先，研究行列式D的第一行除a11外，其余元素都为0的特殊情形，即

其中恰是M11的一般项，所以

D=a11M11=a11(-1)1+1M11=a11A11.

（2）其次，研究D的第i行除了aij外都是0的特殊情形，即

把D的第i行依次与第i-1行，第i-2行，…，第2行，第1行进行交换；再将第j列依次与第j-1列，第j-2列，…，第2列，第1列进行交换，这样共经过（i-1）+（j-1）=i+j-2次交换行与交换列，并由（1）得

（3）最后，研究一般情形

利用行列式的性质4及上面的讨论（2）有

利用行列式的展开定理，可以将一个n阶行列式的计算问题转化成n个n-1阶行列式的计算问题.但是，计算n个n-1阶行列式往往也非常复杂.为使计算更为简便的一般做法是：首先利用行列式的性质将行列式的某一行（列）的元素尽可能多地化为零元素，然后再利用行列式展开定理按该行（列）进行展开，实现降阶，这种行列式的计算方法称为降阶法.

[例1.14]　利用降阶法，计算行列式.

解　选择第2列实施降阶法，得

在上例中可以看到，选出恰当的行（列）用于行列式的展开，对于降阶法的实施是十分重要的.在计算时，应充分利用行列式中的0、1和-1等特殊元素，如果没有则应尽可能地利用行列式的性质，通过变化得到.

[例1.15]　利用降阶法，计算n阶行列式.

解　将Dn按第一列展开，再利用三角行列式，得

如果行列式形式上很有规律，降阶后出现的行列式与原行列式形式上相同，就可以得到递推公式，利用递推公式最终得出行列式的值，这种方法称为递推法.

[例1.16]　利用递推法，计算n阶行列式.

解

得递推公式Dn=xDn-1+an（n≥2），故

Dn=x(xDn-2+an-1)+an=x2Dn-2+an-1x+an

=…=xn-2D2+a3xn-3+…+an-2x2+an-1x+an(www.daowen.com)

=xn-1D1+a2xn-2+a3xn-3+…+an-2x2+an-1x+an,

因D1=x+a1，则

Dn=xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-2x2+an-1x+an.

[例1.17]　证明n阶范德蒙德（Vandermonde）行列式

其中记号“”表示全体同类因子的乘积.

证*　利用数学归纳法.当n=2时，有

式（1.26）成立.假设n-1阶时式（1.26）也成立，下面证明，当n阶时式（1.26）成立.

从第n行起，依次将Dn的第i-1行乘以（-x1）加到第i行，i=n，n-1，…，2，得

定理1.4　n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零，即

或

其中i，j=1，2，…，n.

证　这里只证明行的情况.由式（1.24）得

由于此行列式中的第i行和第j行元素对应相等，根据性质2的推论得

综合定理1.3和定理1.4，得到行列式D关于代数余子式的重要性质：

[例1.18]　已知4阶行列式，求：

(1)4A14+2A24-2A44.　(2)M41+M42+M43+M44.

解　（1）4A14+2A24-2A44=4A14+2A24+0A34+（-2）A44==0.

(2)M41+M42+M43+M44

=(-1)·A41+1·A42+(-1)·A43+1·A44