在引入逆序数的定义后，下面进一步观察2阶和3阶行列式的展开规律，以寻求定义n阶行列式的新规律.

2阶行列式的展开式（1.3）为

3阶行列式的展开式（1.7）为

通过研究，可以发现以下规律：

（1）2阶行列式的展开式是2！项的代数和.3阶行列式的展开式是3！项的代数和.

（2）2阶行列式的展开式每项都是取自不同行不同列的2个元素的乘积.3阶行列式的展开式的每项都是取自不同行不同列的3个元素的乘积.

（3）因为代数和中每个乘积项中的元素次序是可以改变的，所以每项的符号是由该项中元素的行标的排列和列标的排列共同决定的.

如果记3阶行列式的一般项为ai1j1ai2j2ai3j3，那么它的符号为例如，式（1.7）中的第六项，当写成a13a22a31时，它的符号为（-1）τ（123）+τ（321），是负号.写成a22a31a13，它的符号为（-1）τ（231）+τ（213），也是负号；或写成a31a22a13，它的符号为（-1）τ（321）+τ（123），还是负号.不难验证，该项其他的换序方式也有同样的结果.

因此，可以注意到每项的符号是由该项中元素的行标排列的逆序数与列标排列的逆序数之和的奇偶性决定的.

根据以上规律，展开式（1.3）和式（1.7）可以分别表示为

其中i1i2，j1j2是两个2级排列，表示对所有的2级排列求和；

其中i1i2i3，j1j2j3是两个3级排列，表示对所有的3级排列求和.

综合2阶和3阶行列式的最本质的特征，定义n阶行列式如下：

定义1.7　称记号

为n阶行列式，它等于所有取自式（1.14）中属于不同行不同列的n个元素的乘积

ai1j1ai2j2…ainjn　(1.15)

的代数和，其中i1i2…in，j1j2…jn是两个n级排列.当τ（i1i2…in）+τ（j1j2…jn）为偶数时，乘积项式（1.15）前取正号；当τ（i1i2…in）+τ（j1j2…jn）为奇数时，乘积项式（1.15）前取负号.

因此，n阶行列式可以表示为

其中表示对所有的n级排列求和，故此代数和共有n！项.

为了方便，常用记号D或Dn来表示n阶行列式，也可简记为或det（aij），其中aij是n阶行列式的第i行第j列的元素.当n=1时，规定1阶行列式=a11.(www.daowen.com)

特别地，

（1）若将式（1.16）中行标排列调整为标准排列12…n，则有

（2）若将式（1.16）中列标排列调整为标准排列12…n，则有

[例1.5]　确定4阶行列式的项a32a21a14a43的符号.

解　方法一：因为τ（3214）=3，τ（2143）=2，利用式（1.16）中确定符号的方法可知，a32a21a14a43所带的符号为负号.

方法二：先交换项a32a21a14a43中元素的次序，使其行标按自然数的顺序排列，成为a14a21a32a43.因为τ（4123）=3，由式（1.17）可知，a32a21a14a43所带的符号为负号.

[例1.6]　证明n阶下三角行列式（当i＜j时，aij=0，即主对角线以上元素全为0）

证　由行列式定义知，行列式的值为

根据此行列式的特点，我们只需考虑和式中来自不同行不同列的n个元素的乘积可能不为零的项.第一行中，只有取a11，才可能得到非零的项；第二行中，由于每个乘积项里的元素必须取自不同行不同列，故只有取a22，才可能得到非零的项……如此继续，第n行中只能取ann，才可能得到非零的项.因此在n！项的代数和中只有一项a11a22…ann可能非零，其余n！-1项均为零.又由τ（12…n）=0，可知这一项取正号.综上可得，

同理，利用式（1.18）可得n阶上三角行列式（当i＞j时，aij=0，即主对角线以下元素全为0）.

上、下三角行列式统称为三角行列式.特别地，n阶主对角行列式

[例1.7]　证明n阶行列式

证　由行列式定义知，行列式的值为

我们只需考虑行列式中可能不为零的项.第一行中，只有取a1n，才可能得到非零的项；第二行中，由于每个乘积项里的元素必须取自不同行不同列，故只有取a2，n-1，才可能得到非零的项……如此继续，第n行中只能取an1，才可能得到非零的项.因此在n！项的代数和中只有一项a1na2，n-1…an1可能非零，其余n！-1项均为零.因为τ（n（n-1）…21）=，故

同理，可得n阶行列式

特别地，n阶副对角行列式

上述这些特殊行列式的结果，在行列式的计算中都可以直接使用，这将使行列式的计算更为简便.