基本概念：样本空间和不确定性程度

时间：2023-06-28 理论教育 版权反馈

【摘要】：实验的所有可能结果组成了样本空间，我们将其表示为S。样本空间是包含所有可能结果的集合，而其中每一种结果都是集合中的元素。我们将这种每条结果出现的概率相等的样本空间称作简单样本空间。所有这两种极端情况间的概率表示了结果相对的不确定性程度。图8-8 集合运算例：从标准的52张扑克牌[4]中随机抽出一张，则样本空间S包含了52种可能的结果。

基本概念：样本空间和不确定性程度

当做某类实验时，将概率看做是结果出现的可能性是很有用的。在概率论中，实验这个术语用来指代任何“事先不能确切知道结果的过程^[8]”。例如：

•在一个投掷硬币的实验中，实验者想要知道10次投掷中出现6次及6次以上正面的概率。

•从洗好的52张纸牌中选取两张，实验者想确定出现21点的概率（21点是指选择的两张牌之和为21：包括一张Ace牌和一张10点以上的牌）。

•两个盒子中含有不同数量的红球。第一个盒子中，10个球中有8个红球（80%红球）；第二个盒子中，10个球中有2个红球（20%红球）。实验者想要确定若从两个盒子中选择一个红球，而这个红球是从第一个盒子中选出来的概率。

在上述三个例子中，传统意义上是不需要实际做实验的。实际上，概率论的优点和影响力就是：这些概率可以通过计算得出，而不需要设计实际的实验。

实验的所有可能结果组成了样本空间，我们将其表示为S。样本空间是包含所有可能结果的集合，而其中每一种结果都是集合中的元素。因为这种约定，集合论的语言和概念为理解概率论提供了一个良好的构架。

举个例子，当我们投掷骰子的时候，我们可以将样本空间表示为S={1，2，3，4，5，6}。我们将这种每条结果出现的概率相等的样本空间称作简单样本空间。进一步的，将A为定义在S子集的任意事件，表示为A⊆S。事件发生的概率用P（A）表示。例如，在投掷骰子的实验中，若A表示投出的数字为偶数的事件，则A={2，4，6}。假定事件A包含m个结果，样本空间包含n个结果，那么

即

例：假设投掷三次硬币，计算下述概率：（1）有且只有两次为正面向上；（2）至少有两次正面向上。

我们将此实验的样本空间表示为如下形式：

S={正正正，反正正，正反正，正正反，反反正，反正反，正反反，反反反}

若事件A表示有且只有两次正面向上，则A={反正正，正反正，正正反}。A中有三个等概率的元素，而S中有8个等概率的元素；因此，

依此类推，若B表示至少两次为正面向上的概率，则B={正正正，反正正，正反正，正正反}。同样，有

为了满足全部概率的描述，数学家在形式上精确地给出了三条公理来定义概率。第一条公理表明概率总是非负的。

公理1：对于任意事件A，P（A）≥0

第二条公理表明若一事件确定会发生，则其概率一定为1.

公理2：P（S）=1

公理1和公理2联合，可以得到下列结果：

0≤P（A）≤1（8-2）

式（8-2）精确的定义了概率的范围是实数从0～1。不可能发生的事件概率为0，必然发生的事件概率为1。所有这两种极端情况间的概率表示了结果相对的不确定性程度。

在介绍公理3之前，我们首先讨论三种集合运算，以帮助了解概率的计算。正如我们先前提到的，集合论的语言规则可以便于描述概率。第一种集合运算是并集（union）：对于任意的两个事件A和B，其并集定义为包含只属于A，只属于B，或者同时属于A和B的结果的事件，并集用符号表示为A∪B。第二种集合运算是交集（intersection），A和B的交集定义为包含同时属于A和B的所有结果的事件。交集用符号表示为A∩B，或者简写为AB。第三种集合运算称为补集（comple-ment），事件A的补集指样本空间中不属于A的结果的集合。有时补集可以描述为“非A”，用符号表示为┐A。图8-8给出了这三种集合运算的韦氏图。(www.daowen.com)