我们在前一节中证明了怎样用一种全新的方式使用维恩图表去构造逻辑检验。这一方法包含了使用转换规则去确定什么是允许的处理方法。通过演绎推理的一种严密类型（也就是推演推理，其中限制前提和结论到无条件语句）去说明图表方法。但是，即使在这一有限的领域，逻辑学家仍旧强烈地抵制使用图表作为有效的检验。确实，无论是否广泛使用图表，并且无论图表在数学和逻辑领域的问题解决中获得了公认的可用性，对于图表的负面态度仍持续到了今天。在逻辑学家当中流行的观点是图表仅仅是启发式的工具，不能用来作为严密的逻辑检验。此外，许多逻辑学家认为图表倾向于误导我们，因而不能够也不应当完成真正的检验功能^[5]。为了构建有效的逻辑检验，逻辑学家更倾向于一阶逻辑。

本章的一个目的是说明维恩图表能够被作为标准的表示系统，并且可以用这一系统构建有效的逻辑检验，虽然这只能在有限的领域中应用。证明维恩图表的有效性超出了本书涉及的范围，但是金（Shin）^[6]证明了本章中所描述的维恩图表系统是有效的和完整的。维恩系统的有效性保证了只要遵循转换规则，使用维恩图表就不会使我们错误地得出不合理的检验。此外，维恩图表的完整性意味着转换规则能够产生全部合理有效的论点形式。

语言学表示系统和维恩表示系统的并行比较将使在两种方法去检验逻辑法则之间的区别更加显著。首先，我们将简要审视一阶逻辑，这是检验逻辑法则的传统方法。本节将仅仅向读者介绍一阶逻辑的语法，以便读者理解如何使用语义表示系统去构建逻辑检验（对于不希望就此话题进行深入研究的读者，可以忽略本节的内容，这将不会对阅读全书的连贯性产生影响）。对于一阶逻辑更加全面的论述不在本书范围之内，但是在许多标准的逻辑教科书中可以找到相关内容。第二，我们将首先通过使用一阶逻辑，然后使用维恩图表去证明一个简单的推论法。

1.一阶逻辑：简介

在本书的开始，讨论了4种无条件语句：

1）所有A是B（All A is B）；

2）非A是B（No A is B）；

3）一些A是B（Some A is B）；

4）一些A不是B（Some A is not B）。

作为构建逻辑检验的第一步，将需要用符号去表示这4种语句。使用字母x作为表示任意对象的变量，能够将第一个无条件语句表示为

对于所有x，如果x是A，那么x是B。

同样地，第二种无条件语句表述可以表示为

对于所有x，如果x是A，那么x不是B。

在一阶逻辑所采用的语法中，∀意味着“全部”。这一符号称之为全称量词。此外，我们将写Ax，而不是写“x是A”。同样，“x是B”写成Bx。因而，前两个无条件语句可以写成：

1）∀x（Ax→Bx）

2）∀x（Ax→﹁Bx）

第三种无条件语句可以表示为

对于一些x，x是A并且x是B。

第四种无条件语句可以表示为

对于一些x，x是A并且x不是B。

我们采用符号∃，代替使用书写“对于一些x”。将这一符号称为存在量词，它意味着“对于一些”，或是更加精确些，“对于至少一个”。因而，第三和第四无条件语句可以写作：

3）∃x（Ax&Bx）

4）∃x（Ax&﹁Bx）

需要指出的是，用连接词将前两个语句（通用语句）用公式阐明是错误的。例如，将语句“所有的A是B”（All A is B）用以下的公式表示是错误的：

∀x（Ax&Bx）

这一公式将意味着“对于所有x，x是A和B。”表述“所有的企鹅是鸟类”很明显不同于“对于所有x，x是企鹅和鸟类”，这意味着所有的事物都既是企鹅又是鸟类。

同样地，将第三和第四种语句（存在量词）用连接词进行公式表示也是错误的。第三种语句，“一些A是B”（Some A is B）不能用以下公式表示：

∃x（Ax→Bx）

这一公式意味着存在至少一个x，如果x是A，那么x是B。然而，“一些麒麟是红色的”并不等同于“对于一些x，如果x是麒麟，那么x是红色的。”这里，这一论点有点巧妙，并且难于理解。即使是没有麒麟，后一种语句也是成立的（例如，如果x是一头大象，这一语句成立）。另一方面，由于没有麒麟这种动物，因此，“一些麒麟是红色的”语句是错误的。(www.daowen.com)

既然我们对于如何使用一阶逻辑语法对4种类型的语句用公式进行表示有了基本的了解，那么让我们尝试证明下面的推论法：

所有的狗都是哺乳动物。

所有的哺乳动物具有毛发。

∴所有的狗具有毛发。

在下面的推论中，将用M取代所有的哺乳动物集合，H取代所有具有毛发的事物集合，D取代所有的狗类集合：

所有D是M。

所有M是H。

∴所有D是H。

为了使用一阶逻辑构建逻辑检验，需要允许将我们的表述转换到其他表述（这与允许将维恩图表转换成其他等价的维恩图表的转换规则十分相似）的推理规则。

例1：通过一阶逻辑进行检验。上面推理的一阶逻辑将具有如下形式：

1）∀x（Dx→Mx）前提1

2）∀x（Mx→Hx）前提2

3）Da→Ma 1通用实例

4）Ma→Ha 2通用实例

5）Da→Ha 3、4假设推理

6）∀x（Dx→Hx）5通用概括

2.解释

用标签1～6表示了检验的步骤。如前面所讨论的，步骤1和步骤2将推理的两种前提用公式表示为一阶逻辑符号。步骤3和步骤4使用了通用实例所表示的推论规则。这意味着我们能够用特别的事件（命名为a）去取代x（这表示了全部个体）。步骤5使用了假设推理所表示的推论规则。这意味着给出3个无条件语句[7]α、φ和ω，当α→φ且φ→ω时，可以推断出α→ω（这一推论规则起到了一种在3个分类表述之间传递的功能）。最后，步骤6使用了通用概括所表示的推理规则。我们是否谈论个体a、b、c等都无关紧要。由于没有对个体a作出假设，因此我们的检验具有很好的概括性。因而，在步骤6中，我们能够更加概括地说明在步骤5中的公式，也就是∀x（Dx→Hx）。但是这精确地等价于所有的D是H。因而，通过使用语言和一阶逻辑的规则从两个假设中证明了结论，即所有的D是H或是“所有的狗类具有毛发”。

例2：通过维恩图表进行检验。现在我们看看使用维恩图表检验同样的推理。很容易绘制出表示假设P₁+P₂的维恩图表：

首先分别产生对于P₁和P₂的维恩图表，然后通过从两张图表中复制阴影部分到相应的分隔区域去合并两张图表。

下面给出了所得的维恩图表：

是否能够将图表P₁+P₂转换成图表C呢？通过规则I.1，能够擦除在两个分隔区域中的阴影获得图表C。参见如下的图表。

能够通过两个不同的表示系统使推理有效：一个是语言推理，一个是非语言推理。

从对维恩图表的讨论使我们感受到，通过一步步的步骤能够使我们用图表和可以看到的方式建立逻辑检验。在本章中所讨论的维恩图表比数学和几何理论中所使用的传统的维恩图表范围更广：它们不仅仅是描绘在两个或是三个集合之间的静态的图表；它们更是用许多不同方式进行调整、更新和连接的图表。这一手段使用了少量的符号：重叠图形去表示集合和它们如何相互作用（我们已经知道了传统的符号），此外，阴影表示了空，符号表示了非空。本章中所采用的更多的规则是与线段（代表了x-序列）共同使用的内部联系符号，这使我们能够描述转折信息。不同于一阶逻辑的语法需要更多的实践和技巧去掌握，这3个规则很容易学习，并且很容易在逻辑推理中应用。

这些动态维恩图表的中心特性是转换规则。转换规则使我们能够以各种方式去利用维恩图表：能够擦除对象、添加对象和合并对象。转换规则告诉我们什么是可以允许的转换，告诉我们怎样将一个维恩图表转换成另一个等价的维恩图表。由于这些规则提供给我们验证推理有效性的步骤，因此这些规则是十分重要的。首先，统一规则告诉我们如何将两个或是更多的假设合并到维恩图表中。第二，使用添加和减少规则证明结论是否是从假设中推导出的：如果能够将表示假设的维恩图表转换到表示结论的维恩图表中，那么推论就是有效的。

通过审视语言表示系统、一阶逻辑与非语言表示系统、维恩图表存在何种区别对本节做出结论。在语言系统的情况中，语言符号和其他句法手段表示了关系。这些符号和手段使用其自身的规则，需要学习这些规则去构建有效的逻辑检验。一阶逻辑的一个问题是其很难学习，并且在如何构建检验上一点也不直观和明显。确实，仅仅因为不能构建检验很可能并不意味着推理是无效的，而是没有足够的技巧去产生检验。另一方面，图表表示系统根据目标的空间排列表示了关系。虽然也必须对它们的规则进行学习，但是其规则更容易掌握和理解。这是因为图表表示系统是十分形象的，并能够使我们在感性上用一种更加明显的方式看到其关系。这是图表表示系统相对于一阶逻辑的主要优点。

虽然，在本章中说明的维恩图表方法在解决逻辑问题中显示了很大的前景，但是重要的是需要重申它们只能解决很窄领域中的问题——演绎推理中假设和结论限定于无条件语句。一阶逻辑是能够解决更广泛逻辑问题的系统，尽管它很难学习，但它具有更强的表现力。这也在很大程度上解释了为什么逻辑学家在验证逻辑理论时最先选择一阶逻辑。当然用扩展维恩图表方法去说明更多的逻辑任务是可能的，但是我们不能够通过维恩图表全面地表达想要表达的所有事物。例如，并没有通用的方法表示在一张单独的维恩图表上的转折或是否定信息（很难直观并感性地表示这样的信息）。最终，逻辑学家必须使用许多手段，它们或是语言学的，或是图表的，去处理他们或是她们可能遇到的最棘手和最具挑战性的问题。