莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，生于1707年）是18世纪瑞士的数学家，人们普遍认为他是第一个使用圆圈去说明类之间的关系的人。他所发明的欧拉图表虽然在使关系形象化方面十分有用，但是当帮助人们解决逻辑问题时却受到了极大的限制。在19世纪，英国的逻辑学家约翰·维恩（John Venn，出生于1834年）开发的图表方法更为强大，并且能够去说明更广泛的逻辑问题类型。维恩图表是一个众所周知的方法，当今它被广泛地应用在集合理论和逻辑学中，并且是众所周知的逻辑图表范例。第三个重要的图表是由夏尔·皮尔士（Charles Peirce，出生于1839年）发明的，在他所处的时期，人们极大地忽视了他在逻辑推理和逻辑图形方面的工作。皮尔士的观点克服了维恩图表的许多限制，并且为在逻辑推理中更动态地使用图表铺平了道路。本章中的讨论更多地归功于皮尔士的工作和革命性的观点，同时也要归功于金（Sun-Joo Shin）的工作，他开发了众所周知的维恩-I（Venn-I）图表方法，能够使用这一方法证明逻辑定理。我们将探究维恩-I的方法，同时研究如何使用它们去创建更为动态化的和交互式的维恩图表。在后面，将金所开发的维恩-Ⅰ方法简化地比作维恩图表。

首先讨论欧拉图表。欧拉用圆圈表示了无条件语句的四种类型：

通过简单易懂和直接的方式对两个一般语句“所有的A是B”和“没有A是B”进行表示。在第一张图表中，带有字母A的圆圈完全包含在带有字母B的圆圈中，表明了全部A是B（All A is B）的事实。第二张图表说明了带有字母A的圆圈和带有字母B的圆圈没有重叠，表明了没有A是B（No A is B）的事实。乍一看，表示两个存在语句“一些A是B”（Some A is B）和“一些A不是B”（Some A is not B）不是十分清晰和直观。在第三张图中，字母A被放置在了交叉的区域（A∩B），同时在第四张图表中，字母A被放置在区域A的内部，但是却在区域B的外部（A∩﹁B）。这两张图根据字母A被放置的位置来表示结论。

欧拉表示系统在方法的数量上受到了限制。一方面，它不能够去表示在两个集合之间的很大数量的关系。例如，你不能表示其他的关系，如下面语句所给出的：

或者是A，或者是B（Everything is either A or B）

既不是A，也不是B（Everything is neither A or B）

在A中存在，但不在B中存在

既不在A中存在，也不在B中存在(www.daowen.com)

欧拉图表只能够表示前面所给出的4个无条件语句。为了完成更广范围的逻辑推理任务，我们需要更强大的表示系统，也就是至少能够表示在两个或更多集合之间的更宽范围的关系。

欧拉系统第二个重大缺陷是，它不能在一张图中组合两个或更多的信息。在演绎推理中，这是特别需要的，因为需要从两个假设中组合信息，以便确定结论的有效性。例如：

全部的P是Q（All P are Q）

一些P是R（Some P are R）

∴一些Q是R（Some Q are R）

下面的两张欧拉图表说明了推论法的假设：

为了确定这个推论法的有效性，需要组合这两张图表。不幸的是，没有容易且直观的方法将两幅图组合在一起。一般来说，把两个或者更多的欧拉图表转换为一个正确的欧拉图是比较困难的。稍后，将了解维恩图表的一个重要功能，这就是可以很容易地通过转换规则将图表组合。这些规则确定了什么是有效的和允许的转换。没有这一完成增量转换的能力，在处理演绎推理和其他类型的推理任务时会遇到极大地的限制。