1.经验频率计算公式

设某水文系列共有n对，按由大到小的次序排列为：x1，x2，…，xm，…，xn，则系列中大于或等于xm的经验频率可按下式计算：

若掌握资料的数量很多，即样本容量充分大，相当于掌握了总体，按上式确定频率并无不合理之处，但用于样本容量有限时就有问题了。例如对于系列中的最末项m=n，按上式计算得到其经验频率为100%，它说明等于或大于样本末项的频率为1.0，为必然事件，也就是说样本末项xn就是总体中的最小值，显然这样计算经验频率是不符合事实的，因为比样本最小值更小的数值今后仍可能出现。所以必须探求一种合理的估算经验频率的方法。

经验频率的估算在于对样本序列中的每一项取值，估算其对应的频率。目前我国水文计算上广泛采用的是经修正后的频率计算公式，最常用的数学期望公式为：

式中 P——等于和大于xm的经验频率，%；

m——xm的序号，即等于和大于xm的项数；

n——系列的总项数。

2.经验频率曲线的绘制

根据实测水文资料，按从大到小的顺序排列，然后用式（4-28）计算系列中各项的经验频率。以水文变量x为纵坐标，以经验频率P为横坐标，在频率格纸上点绘经验频率点据，根据点群趋势绘出一条平滑的曲线，即为该水文变量的经验频率曲线。有了经验频率曲线，即可在曲线上求得指定频率P的水文变量值xP。

【例4-4】选用某站有代表性的实测年降雨量资料24年，如表4-4中第①、②栏，试绘制该样本系列的经验频率曲线。

解 1）将系列由大到小重新排列，列入表4-4中第③、④栏。(www.daowen.com)

2）由公式（4-28）计算各项的经验频率，列入表4-4中第⑨栏。

3）由表4-4中第④栏和第⑨栏相对应的数值，在频率格纸上点绘经验频率点据。

表4-4　站年降雨量的频率计算表

4）分析点群分布趋势，目估过点群中心绘制一条光滑的曲线，即为该站年降雨量的经验频率曲线，如图4-4中①线所示。

续表

图4-4　某站年降雨量频率曲线图

3.经验频率曲线存在的问题

经验频率曲线是由实测资料绘制而成的，计算工作量小，绘制简单，查用方便，它是水文频率计算的基础，具有一定的实用性。但如直接把经验频率曲线用于解决工程实际问题，还存在着一定的局限性。因为我国目前的水文实测资料一般不超过几十年，算出的经验频率至多相当于几十年一遇，加上实测系列（如流量）在特大洪水期间或特小的枯水期间受各种因素的影响，往往缺少实测资料，无法绘出高水与低水部分的经验累积频率曲线，当水文变量的设计频率较大或较小时，可能无法从经验频率曲线上直接查得相应的设计水文数据，而在工程规划设计里面，常需要确定更为稀遇的水文变量值，这些稀遇值无法从经验频率曲线直接查出，这部分频率值又是计算设计洪水或设计枯水的重要因素。因此必须要对经验累积频率曲线下端或上端进行外延。外延的方法可以选用一种频率坐标纸，在频率格纸中，纵坐标为普通的等分坐标，累积频率P的横坐标为不等分分格，中间密、两端疏。正态分布累积频率曲线在概率格纸中呈直线，皮Ⅲ型曲线在概率格纸中的两端较普通坐标纸要平缓得多。因而，可以通过目估直接进行累积频率曲线的外延。

然而目估延长法受主观因素影响较大，因为上端和下端没有实测点据控制，外延具有相当大的主观任意性，也无法检验外延部分的正确性。另外，水文要素的统计规律具有一定的地区性，但是这种地区性规律很难直接用经验频率曲线综合出来。为解决累积频率曲线外延的问题，以及为了便于统一标准，进行综合对比，使设计成果更为合理，可利用数学方法，寻求一种适合的数学模型，即具有一定数学方程式的频率分布曲线，一般称之为理论累积频率曲线。由于水文资料观测的年代有限，目前还不能完全由水文现象的实测资料建立一个完善的理论累积频率曲线公式，而只能选择与水文现象变化规律类似的线型，作为水文现象总体的频率曲线，进行频率计算。依据实测系列，找出一条理论的累积频率曲线（即数学模型），以此来解决经验累积频率曲线外延的任意性和求解一定设计频率标准下的设计值。