1.逻辑代数

研究逻辑关系的数学称为逻辑代数，又称为布尔代数，它是分析和设计逻辑电路的数学工具。逻辑代数与普通代数相似，也是用大写字母（A，B，C，…）表示逻辑变量，但逻辑变量取值只有1和0两种，这里的逻辑1和逻辑0不表示数值大小，而是表示两种相反的逻辑状态，如信号的有与无、电平的高与低、条件成立与不成立等。

1）基本逻辑运算法则

对应于3种基本逻辑关系，有3种基本逻辑运算，即逻辑乘、逻辑加和逻辑非。

逻辑乘：简称为乘法运算，是进行“与”逻辑关系的运算的，所以也叫与运算。其运算规则为

逻辑加：简称为加法运算，是进行“或”逻辑关系的运算的，所以也叫或运算。其运算规则为

逻辑非：简称为非运算，也称为求反运算，是进行“非”逻辑关系的运算的。对于“非”逻辑关系来说，可得还原律为

2）逻辑代数的基本定律

逻辑代数的基本定律和公式见表11-1-1。

表11-1-1　逻辑代数的基本定律和公式

3）逻辑函数的化简

某种逻辑关系，通过与、或、非等逻辑运算把各个变量联系起来，构成了一个逻辑函数表达式。对于逻辑代数中的基本运算，都可用相应的门电路实现，因此一个逻辑函数表达式一定可以用若干门电路的组合来实现。

一个逻辑函数可以有许多种不同的表达式。

如：

这些表达式是同一逻辑函数的不同表达式，因而反映的是同一逻辑关系。在用门电路实现其逻辑关系时，究竟使用哪种表达式，要看具体所使用的门电路种类。

在数字电路中，用逻辑符号表示的基本单元电路以及由这些基本单元电路作为部件组成的电路称为逻辑图或逻辑电路图。上述3个表达式中的逻辑电路图分别如图11-1-1（a）～图11-1-1（c）所示，这些电路的组成形式虽然各不相同，但电路的逻辑功能却是相同的。

一般来说，一个逻辑函数表达式越简单，实现它的逻辑电路就越简单；同样，如果已知一个逻辑电路，按其列出的逻辑函数表达式越简单，也越有利于简化对电路逻辑功能的分析，所以必须对逻辑函数进行化简。

逻辑函数的化简通常有2种方法：公式化简法和卡诺图化简法。公式化简法的优点是它的使用不受任何条件的限制，但要求能熟练运用公式和定律，技巧性较强。卡诺图化简法的优点是简单、直观，但变量超过5个以上时过于烦琐，本书不作介绍，可参阅有关书籍。

图11-1-1　逻辑电路图

（a）与或表达式；（b）或与表达式；（c）与非表达式

下面举例说明如何利用逻辑代数的基本公式和定律，对逻辑函数进行化简和变换。

解：化简过程为

证明：因为

故左边等于右边，等式得证。

2.组合逻辑电路的分析

分析组合逻辑电路的目的就是确定电路的逻辑功能，即根据已知逻辑电路，找出其输入和输出之间的逻辑关系，并写出逻辑函数表达式。一般分析步骤如下。(www.daowen.com)

（1）写出已知逻辑电路的函数表达式。方法是直接从输入到输出逐级写出逻辑函数表达式。

（2）化简逻辑函数表达式，得到最简逻辑表达式。

（3）列出真值表。

（4）根据真值表或最简逻辑表达式确定电路逻辑功能。

组合逻辑电路分析的一般步骤，可用图11-1-2所示框图表示。

图11-1-2　组合逻辑电路分析步骤框图

下面举例说明组合逻辑电路的分析方法。

【例11-1-3】试分析图11-1-3所示电路的逻辑功能。

解：（1）从输入到输出逐级写出输出端的逻辑函数表达式。

（2）对上式进行化简。

（3）列出函数真值表，如表11-1-2所示。

表11-1-2　例11-1-3真值表

（4）确定电路逻辑功能。

【例11-1-4】试分析图11-1-4所示电路的逻辑功能。

图11-1-3　例11-1-3图

图11-1-4　例11-1-4图

解：（1）逐级写出输出端的逻辑函数表达式。

（2）化简。上式已是最简，故可不化简。

（3）列真值表，如表11-1-3所示。

表11-1-3　例11-1-4真值表

（4）确定电路逻辑功能。

由表11-1-2可知，当A、B、C的取值组合中，只有奇数个1时，输出为1，否则为0，所以图11-1-4所示电路为3位奇偶检验器。