利用状态反馈构成控制规律是现代控制理论的基本方法。由于“状态”全面反映了系统的特性，利用状态反馈就有可能实现较好的控制。状态反馈可以任意地配置系统的极点，为控制系统的设计提供了有效的方法。

1.状态反馈控制

给定离散系统的状态方程为

x（kT+T）=Ax（kT）+Bu（kT）

y（kT）=Cx（kT）+Du（kT）

若采用状态线性反馈控制，控制作用可表示为

u（kT）=-Kx（kT）+Lr（kT）式中，r（kT）是p维参考输入量；K是m×n维状态反馈增益矩阵；L是m×p维输入矩阵。由上面两式可得系统结构，如图1-17所示。若令L等于1，闭环系统的状态方程为

x（kT+T）=[A-BK]x（kT）+Br（kT）

y（kT）=[C-DK]x（kT）+Dr（kT）（1-39）

图1-17 状态反馈控制系统结构

由于引入了状态反馈，整个闭环系统的特性发生了变化。由上式可知：

1）闭环系统的特征方程由[A-BK]决定，系统的阶次不改变，由于闭环系统的稳定特性取决于它的特征根，所以通过选择状态反馈增益矩阵K，可以改变系统的稳定性。

2）闭环系统的能控性由[A-BK]及B决定，可以证明，如开环系统是能控的，闭环系统也是能控的，反之亦然。

3）闭环系统的能观性是由[A-BK]及[C-DK]决定的，如果开环系统是能控能观的，加入状态反馈控制，由于K的不同选择，闭环系统可能失去能观性。

4）状态反馈时，闭环系统的特征方程为

Δ（z）=det[zI-A_c]=det[zI-A+BK]=0 （1-40）式中，A_c=A-BK。

可见，状态反馈增益矩阵K决定了闭环系统的特征根。即如果系统是完全能控的，通过选择K可以配置闭环系统的特征根。可以证明，状态反馈不能改变或配置系统的零点。

状态反馈增益矩阵可以依据不同的要求，采用不同的方法确定。依据给定的极点位置，确定反馈增益矩阵是最简单常用的方法。

2.单输入-单输出系统的极点配置

极点配置法的基本思想是，由系统的性能要求确定闭环系统的期望极点位置，然后依据期望极点位置确定反馈增益矩阵K。对于单输入系统，m=1，反馈增益矩阵K是一个行矢量，仅包含n个元素，所以可由n个极点唯一确定。(www.daowen.com)

（1）系数匹配法 若给定闭环系统期望特征根为

z_i=β_i （i=1，2，…，n）因此，它的期望特征方程为

α_c（z）=（z-β₁）（z-β₂）…（z-β_n）=0状态反馈闭环系统的特征方程为

det[zI-A+BK]=0使上面两式各项系数相等，可得n个代数方程，从而可求得n个未知系数K_i。

（2）能控标准型法 若系统的阶次较高，系数匹配法中行列式展开将比较复杂，常用其他方法。

对于一个完全能控的系统，通过非奇异变换

总可以将其变换为能控标准型

此时，闭环系统的特征方程很容易求得，为

det[zI-A+BK]=zⁿ+（a₁+K_n）z^n-1+

（a₂+K_n-1）z^n-2+…+（a_n+K₁）=0

闭环系统的期望特征方程为

α_c（z）=（z-β₁）（z-β₂）…（z-β_n）

=zⁿ+α₁z^n-1+α₂z^n-2+…+α_n

由上面两个特征方程系数相等，可求得状态反馈增益K_i

K₁=α_n^-anK2=α_n-1^-an-1 … K_n=α₁-a₁

再通过上述非奇异变换的逆变换，将求得的增益转换为原状态空间的增益。

为了实际应用这一方法，Ackerman基于上述思想，推得了一般公式：

如果单输入系统是能控的，使闭环系统特征方程α_c（z）=0的反馈增益矩阵K可由下式求得：

K=[00…1]W_c^-1α_c（A）式中，W_c是系统能控矩阵；α_c（A）是给定的期望特征多项式中变量z用A代替后所得的矩阵多项式，即α_c（A）=Aⁿ+α₁A^n-1+…+α_n。