在数字控制过程中，一个采样周期称为一拍。最少拍控制设计是系统在典型的输入作用下，设计出数字调节器，使系统的调节时间最短或者系统在有限个采样周期内结束过渡过程。最少拍控制实质上是时间最优控制。最少拍控制系统的设计任务就是设计一个数字调节器，使系统到达稳定时所需要的采样周期数最少，而且系统在采样点的输出值能准确地跟踪输入信号，不存在静差，对任何两个采样周期中间的过程则不作要求。

最少拍控制系统如图1-10所示。图中D（z）是数字调节器，由计算机实现。G_h（s）是零阶保持器的传递函数。G₁（s）是控制对象的传递函数。零阶保持器和控制对象离散化以后，称为广义控制对象的脉冲传递函数G（z）。

图1-10 最少拍控制系统

最少拍控制系统的闭环脉冲传递函数

最少拍控制系统的误差脉冲传递函数

由上面两式可得最少拍控制系统的数字调节器的传递函数为

在一般的调节系统中，有三种典型输入形式：单位阶跃输入、单位速度输入、单位加速度输入。典型的输入形式的z变换具有下列形式：

式中，m为正整数；A（z^-1）为不包括（1-z^-1）因式的z^-1的多项式。在上述三种典型输入中，m分别为1、2、3。

由式（1-31）得

最少拍控制系统就是要求系统在典型的输入作用下，当合在一起（k≥N）时，误差e（kT）为恒定值或等于零，其中N为尽可能小的正整数。由z变换的定义可以知道，就是要使E（z）包含尽可能少的有限项，因此必须合理地选择G_e（z）。若选择

G_e（z）=（1-z^-1）MF（z）（M≥m）式中，F（z）是z^-1的有限多项式，且不含有（1-z^-1）因子，则可使E（z）是有限项多项式。当选择M=m，且F（z）=1时，不仅可以使数字调节器简单，阶次比较低，而且还可以使E（z）的项数最少，因而调节时间较短。对于不同的输入，要选择不同的误差脉冲传递函数G_e（z）。

1）单位阶跃输入R（t）=u（t）、R（z）=1/（1-z^-1）时，选择

G_e（z）=1-z^-1

2）单位速度输入R（t）=t、R（z）=Tz^-1/（1-z^-1）2（T为采样周期）时，选择(www.daowen.com)

G_e（z）=（1-z^-1）²

3）单位加速度输入R（t）=t²/2，R（z）=T²z^-1（1+z^-1）/2（1-z^-1）³时，选择

G_e（z）=（1-z^-1）³

由E（z）的表达式可以得到不同输入时的误差序列。对于这三种典型输入，最少拍随动系统的调节时间分别为T、2T和3T。

设计最少拍调节器D（z）时，必须顾及D（z）的可实现性要求，并在选择G_e（z）和Φ（z）时，必须注意以下几点：

1）D（z）必须是可实现的有理多项式，不包含超前环节；Φ（z）不包含单位圆上和单位圆外的极点。

2）选择Φ（z）时，应该把G（z）分子中z^-1因子作为Φ（z）分子的因子；应该把G（z）的单位圆上和单位圆外的零点作为Φ（z）的零点。

3）选择G_e（z）时，必须考虑输入形式，并把G（z）的所有不稳定极点，即单位圆上和单位圆外的极点全部由G_e（z）的零点来抵消。

最少拍控制系统的设计方法是简便的，结构也是简单的，设计结果可以得到解析解，便于计算机实现，但是最少拍控制系统的设计存在如下一些问题：

1）最少拍控制系统对输入形式的适应性差，当系统的输入形式改变，尤其存在随机扰动时，系统的性能变坏。

2）最少拍控制系统对参数的变化很敏感，实际系统中，随着环境、温度、时间等条件的变化，对象参数的变化是不可避免的，对象参数的变化必将引起系统的性能变坏。

3）不能期望通过无限提高采样频率来缩短调节时间，因为采样频率的上限受到饱和特性的限制。

4）最少拍控制系统设计只能保证采样点上的误差为零或恒值，不能保证采样点之间的误差也为零或恒值，也就是说，系统输出存在纹波，而纹波对系统的工作是有害的。