用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路，它包含两个独立的动态元件。在二阶电路中，由储能元件的初始值决定的响应称为二阶电路的零输入响应。二阶电路的初始条件应有两个，RLC 串联二阶电路的零输入响应内容如下。

RLC 串联电路如图8-41 所示，假设电容原已充电，其电压为U0，因为当t< 0 时开关打开，电感中的初始电流为0。当t＝0 时，开关S 闭合，此电路的放电过程就是二阶电路的零输入响应。

在指定的电压、电流参考方向下，根据KVL 可得

图8-41　RLC 串联电路

以uC为变量列写微分方程，即

将以上式代入电压方程，得

式（8-38）是以uC为未知量的RLC 串联电路放电过程的微分方程。这是一个线性常系数二阶齐次微分方程。解这类方程仍然设uC＝Aept，然后再确定其中的p 和A。

将uC＝Aept代入式（8-38），得特征方程为

解特征方程求得特征根为

根的性质不同，响应的变化规律也不同。

当R时，p1、p2为两个不等负实根，则

当时，p1、p2为两个相等负实根，则

当时，p1、p2为一对共轭复根，p1，2＝－δ ± jω，则

可见特征根仅与电路参数和结构有关，与激励和初始储能无关。

1.过阻尼条件——非振荡放电过程

为过阻尼条件，即非振荡放电过程，其特征根p1、p2是不等负实根，电压uC可写为

确定初始条件，即

由于

根据初始条件和式（8-39），得

解式（8-40），得

将解得的A1、A2代入式（8-39）就可以得到RLC 串联电路零输入响应的表达式。电容上的电压为

电流为

由于，故电流也可以写为

电感电压为

由此可见，uC（t）和i（t）均为随着时间衰减的指数函数，电路的响应为非振荡响应，响应曲线如图8-42所示。

图842　非振荡放电过程中uC、i、uL

图8-42 画出了uC（t）、uL（t）和i（t）随时间变化的曲线。由图可知，uC、i 始终不改变方向，而且有uC≥0 ，i ≥0 ，表明电容在整个过程中一直释放储存的电能，因此称为非振荡放电，又称为过阻尼放电。

当t＝0＋时，i（0＋）＝0 ，当t →∞时放电过程结束，i（∞）＝0 ，所以在放电过程中电流必然要经历从小到大再趋于零的变化。电流到达最大值的时刻tm可由求得，即

当t< tm时，电感吸收能量，磁场增强；

当t > tm时，i 减小，uL<0，电感释放能量，磁场逐渐衰减，趋向消失；

当t＝tm时，电感电压为零。

当t＝2tm时，uL极小；

当t > 2tm时，uL衰减加快，能量转换关系如图8-43 所示。

图8-43　非振荡放电过程能量转换关系示意图

（a）0< t< tm时的能量转换；（b）t > tm时的能量转换

当0< t< tm时，uC减小，i 增加，能量转换关系如图8-43（a）所示，电容释放能量，电感吸收并储存能量，电阻消耗能量；

当t > tm时，uC减小，i 减小，能量转换关系如图8-43（b）所示，电容、电感释放能量，电阻消耗能量。

2.欠阻尼条件——振荡放电过程

为欠阻尼条件，即振荡放电过程，其特征根p1和p2是一对共轭复数，即

若δ 与ω 满足

则

故特征根为

令，则

ω0、ω 和δ的几何关系如图8-44 所示。

则

(www.daowen.com)

根据

可求得

电容上的电压为

根据

得

而电感电压为

从uC、i 和uL的表达式可以看出，它们的波形为衰减振荡状态，在整个过程中，它们将周期性地改变方向，储能元件也将周期性地交换能量。根据uC、i 和uL的表达式，可以得出如下结论。

（1）当ωt＝kπ，k＝0，1，2，…时，电流i 为零，即达到电压uC的极值点。

（2）当ωt＝kπ＋β，k＝0，1，2，…时，电感电压uL为零，即达到电流i的极值点。

（3）当ωt＝kπ－β，k＝0，1，2，…时，电容电压uC为零。

在振荡放电的过程中，uC、i 和uL的波形如图8-45 所示。

根据零点划分的时域可以看出元件之间能量转换、吸收的情况，能量转换关系如图8-46 所示。

图8-46　振荡放电过程能量转换示意图

（a）0< ωt< β 时的能量转换；（b）β< ωt< π－β 时的能量转换；（c）x－β< ωt< π 时的能量转换

（1）当0< ωt< β 时，uC减小，i 增加，能量转换示意图如图8-46（a）所示，电容释放能量，电感吸收储存能量，电阻消耗能量；

（2）当β< ωt< π－β 时，uC减小，i 减小，能量转换示意图如图8-46（b）所示，电容释放能量，电感释放能量，电阻消耗能量；

（3）当π－β< ωt< π 时，增加，i 减小，能量转换示意图如图8-46（c）所示，电感释放能量，电容储存能量，电阻消耗能量。

3.临界阻尼条件

为临界阻尼条件，其特征方程的根是一对重实根，即

微分方程式的通解为

根据初始条件uC（0＋）＝U0，可得

根据条件，可得

即

所以电容电压为

电感电流为

电感电压为

由此可知，uC、i、uL不做振荡变化，即具有非振荡的性质，其波形与图8-45 所示相似，求电流最大值可由决定，可求出此时tm＝1/δ。

这个过程是振荡与非振荡过程的分界线，所以时的过渡过程称为临界非振荡过程，这时的电阻称为临界电阻。大于临界电阻的电路称为过阻尼电路，小于临界电阻的电路称为欠阻尼电路。

对二阶电路的分析，涉及决定二阶电路零输入响应特点的参数，即p1、p2、δ、ω0和ω。

p1、p2是微分方程的特征根，它直接决定了通解的形式，即决定二阶电路任何响应的自由分量的形式，又称为电路的固有频率，与电路的原始状态及激励均无关。

δ 为阻尼因子，ω 为衰减振荡角频率或阻尼振荡角频率。在R＝0的理想情况下，当δ＝0 时，为无阻尼情况，此时，称为无阻尼振荡角频率。在无阻尼条件下，各变量以ω0为角频率进行等幅正弦振荡，称为无阻尼振荡。

【例8-14】　电路如图8-47 所示，已知US＝5 V，C＝1 μF，R＝2 kΩ，L＝1 H，开关S 原来闭合在触点1 处，在t＝0 时，开关S 由触点1 接到触点2，求：

(1)uC、i、uL；

(2)imax。

解：（1）已知R＝2 kΩ，而，所以，即该过程为临界非振荡过程。

初始条件为

特征根为

即

微分方程的通解为

根据初始条件可得

根据，可得

即

所以电容电压为

电感电流为

电感电压为

（2）电流的最大值由决定，即