单位阶跃函数是一种奇异函数，可用ε（t）表示，其定义为

单位阶跃函数波形如图8-18（a）所示

图8-18　单位阶跃函数图形

（a）单位阶跃函数波形；（b）延迟的单位阶跃函数波形

单位阶跃函数在t＝0 瞬间不连续，有跃变，t＝0 处为间断点，可以认为函数在t＝0 点的左极限为0，右极限为1。

任意时刻t0起始的单位阶跃函数图形如图8-18（b）所示，也称为延迟的单位阶跃函数，可定义为

如果电路的初始状态为零，输入为单位阶跃函数，则相应的响应就称为单位阶跃响应。

单位阶跃函数的作用有以下4 种。

（1）阶跃函数相当于电源瞬间接通网络，图8-19（a）所示的开关动作，可以用图8-19（b）表示，因此阶跃函数也称为开关函数。

（2）阶跃函数可以用来起始任意函数，即

图8-20 为单位阶跃函数起始正弦函数。

（3）阶跃函数可以用来延迟函数，如图8-21 所示。

（4）阶跃函数可以用来表示复杂的信号，如图8-22 所示的矩形脉冲函数可以写为

图8-22　矩形脉冲函数用阶跃函数表示

（a）脉冲函数；（b）ε（t）函数；（c）－ε（t－t0）函数

在电路中，单位阶跃函数激励的零状态响应称为单位阶跃响应，图8-23 是单位阶跃函数激励的RC 电路，图中单位阶跃函数取代了开关。

RC 串联电路的单位阶跃响应为

以上两式由于引入了单位阶跃函数，故不再需要添加时间条件。(www.daowen.com)

若知道了一个电路的单位阶跃响应，就可以知道它在任意直流激励下的零状态响应，即将阶跃响应乘以该直流激励的值。图8-19（a）所示的电路在t＝0 时接入直流电压源，这相当于该电路在阶跃电压USε（t）激励下求零状态响应，如图8-19（b）所示。电容电压和电路中电流的零状态响应为

如果图8-19 所示电路在t＝t0时接入直流电压源，就相当于该电路由延迟的阶跃电压uS＝USε（t－t0）激励，则电容电压和电路电流的零状态响应为

注意：

上式为延迟的阶跃响应，不要写为

其区别如图8-24 所示，延迟的阶跃响应对应不同曲线。

【例8-7】　电路如图8-25 所示，开关S 合在位置1 时电路已达稳定状态，当t＝0 时，开关由位置1 合向位置2，当t＝τ＝RC 时又由位置2 合向位置1，求t > 0 时的电容电压uC（t）。

解：

方法一：将电路的工作过程按照开关的位置分段求解。

在0<t<τ 区间内，RC 电路为零状态响应，即

在τ< t< ∞区间内，RC 电路为零输入响应，即

方法二：用阶跃函数表示激励，求阶跃响应。

根据开关的动作，电路的激励uS（t）可以用图8-26 所示的矩形脉冲表示。

该脉冲可以写为

RC 电路的单位阶跃响应为

根据线性电路的叠加性有

其中，第一项为阶跃响应，第二项为延迟的阶跃响应。

uC（t）的波形如图8-27 所示。