一阶RC 零输入电路如图8-5 所示。

在开关闭合前电容已经充电，电容电压uC（0－）＝U0。开关闭合后，根据KVL，可得

电容电压uC与电流i的方向为非关联参考方向，故

电阻电压与电流的方向为关联，故

代入电压方程，得到微分方程

这是一阶线性齐次微分方程，初始条件为

令微分方程的通解为uC＝Aept，代入微分方程得

相应的特征方程为

特征方程的特征根为

应用初始条件uC（0＋）＝uC（0－）＝U0，代入uC＝Aept得到uC（0＋）＝A＝U0，从而确定通解系数A。求得满足初始条件的微分方程的解为

即RC 电路断开直流电源后电容放电过程中uC的时域表达式。

电阻上的电压为

从电容的伏安关系和电阻的伏安关系可知，电路中的电流i 有两种求法，分别是

或

以上解题方法是以时间t 为自变量，取动态元件状态变量（电容的电压uC或电感电流iL）为因变量通过列写电路微分方程，通过计算通解和特解求出电路中状态变量的时域解，在电路分析中称为时域法或经典法。由式（8-12）、式（8-13）和式（8-14）可以得到如下结论。

（1）电压uC、uR及电流i 是随时间按同一负指数规律衰减的函数，如图8-6 所示，电容电压uC是连续变化的，而电流是突变的。

（2）电压、电流衰减的快慢与RC的大小有关，而是电路微分方程的特征根，取决于电路的结构和元件的参数。令τ＝RC，τ的量纲为(www.daowen.com)

通常称τ 为一阶电路的时间常数，单位为秒。τ的大小反映了电路过渡过程时间的长短，即τ 越大，则过渡过程时间长；τ 越小，则过渡过程时间短，如图8-7 所示。

引入τ 后，电容电压uC和电流i 可以分别表示为

可以计算uC，即

说明经过一个时间常数τ 后，衰减为原来的36.8%，如图8-6 所示。t＝2τ，t＝3τ，t＝4τ，… 时刻的电容电压值列于表8-1 中。

表8-1　换路后的电容电压值

由表中数据可知，在理论上要经过无限长的时间，电容电压uC（t）才能衰减为零值。但在工程上，一般认为换路后，经过3τ~5τ，电路响应接近于零，过渡过程结束。

（3）时间常数τ的几何意义，如图8-8 所示。

时间常数τ的大小还可以从uC（t）或iC（t）的曲线上用几何方法求得，在图8-8 中，取电容电压的曲线上任意一点uC（t1），通过该点做切线交时间轴t2，则图中的次切距为

即在时间坐标上次切距的长度等于时间常数τ。说明了曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，则经过时间τ 为零值

（4）在放电过程中，电容释放的能量全部被电阻所消耗，即

【例8-4】　电路如图8-9（a）所示，已知US＝15 V，R1＝3 Ω，R2＝1 Ω，R3＝3 Ω，R4＝4 Ω，C＝0.01 F，开关S 断开前电路已达稳态，当t＝0 时S 断开。求S 断开后的电容电压uC（t）。

解：开关S 断开前电路的激励是直流电压源US，达到稳定状态时电容相当于开路，此时电容电压为

t＝0 开关断开后，电路无激励源，电容通过电阻放电，电路响应为零输入响应。

根据换路定则有

换路后从电容两端看进去的等效电阻如图8-9（b）所示，求得等效电阻为

时间常数为

电容电压零输入响应为