稳定性的研究是自动控制理论中的一个基本问题[28～30]。稳定性是一切自动控制系统必须满足的一个性能指标，它是系统在受到扰动作用后的运动可返回到原平衡状态的一种性能。关于运动稳定性理论的奠基性工作，是1892年苏联数学家和力学家李雅普诺夫在论文《运动稳定性的一般问题》中完成的。李雅普诺夫是俄国著名的数学家、力学家。1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔，1918年11月3日死于敖德萨。19世纪以前，俄罗斯的数学是相当落后的，直到切比雪夫创立了圣彼得堡数学学派以后，才使得俄罗斯数学摆脱了落后境地而开始走向世界前列。李雅普诺夫与师兄马尔科夫是切比雪夫的两个最著名最有才华的学生，他们都是彼得堡数学学派的重要成员。1876年，里雅普诺夫考入圣彼得堡大学数学系，1880年在圣彼得堡大学毕业后，留校教力学，1885年在该校获硕士学位。1892年，他的博士论文《论运动稳定性的一般问题》在莫斯科大学通过。1892年起任哈尔科夫大学教授。1901年初被选为彼得堡科学院通讯院士，同年年底成为院士。1902年起在彼得堡科学院工作。里雅普诺夫在常微分方程定性理论和天体力学方面的工作使他赢得了国际声誉。在概率论方面，李雅普诺夫引入了特征函数这一有力工具，从一个全新的角度去考察中心极限定理，在相当宽的条件下证明了中心极限定理，特征函数的引入实现了数学方法上的革命。

在经典控制理论中，主要限于研究线性定常系统的稳定性问题。判断系统稳定性的主要方法有奈奎斯特稳定判据和根轨迹法。它们根据控制系统的开环特性来判断闭环系统的稳定性。这些方法不仅适用于单变量系统，而且在经过推广之后也可用于多变量系统。对于非线性系统稳定性的判别，李雅普诺夫第二方法至今仍是主要的方法。李雅普诺夫方法还被应用于研究绝对稳定性和有限时间区间稳定性问题。对于大系统和多级复杂系统，通过引入向量李雅普诺夫函数，可以建立判断稳定性的充分条件。在研究绝对稳定性问题方面，不同于李雅普诺夫方法的另一个重要方法是1960年V.M.波波夫建立的频率域形式的判据。它的主要优点是可利用系统中线性部分的频率响应的实验结果。后来的研究表明，李雅普诺夫方法和波波夫方法在实质上是等价的。波波夫在研究绝对稳定性的基础上，在1964年进一步提出超稳定的概念和理论，并在1966年出版了《控制系统的超稳定性》的专著。超稳定性理论已在模型参考适应控制系统的分析和综合中得到应用。

本研究中，主要讨论平衡点的稳定性，平衡点的稳定性一般是由李雅普诺夫稳定原理判定的。李雅普诺夫稳定原理主要讨论平衡点的稳定性特征，根据此原理可以判断系统是否稳定，是目前解决非线性系统的稳定性问题的最为普遍的方法。这种方法的基本思路是通过设计一个李氏函数，对其进行求导，然后根据判定定理判别系统在平衡状态是否稳定。在本章，我们选择李氏函数V为如下形式：(www.daowen.com)

李氏函数V的微分形式为：

基于李雅普诺夫稳定理论，上面的式子满足滑模的到达条件。因此，可以证明该系统在平衡位置上，可以自动稳定。在滑动的条件下，保证系统能够在有限时间到达滑模面s=0，并且它一旦进入滑模面就会一直停留在此进行理想的运动，即可得到期望运动轨迹。