控制理论可以分为两种：线性控制理论和非线性控制理论。

线性控制理论可适用于元件均满足叠加原理的系统（线性系统），其统御方程是线性的微分方程，线性系统中若其参数不会随时间而改变，则称为线性时不变（LTI）系统，这类系统可以用强大的频域数学技巧加以分析，例如，拉普拉斯变换、傅里叶变换、Z变换、波德图、根轨迹图及奈奎斯特稳定判据。

非线性控制理论则是针对不符合叠加原理的系统（非线性系统），适用于较多的真实世界系统。众所周知，理想的线性系统在实际的工业生产过程中是不存在的。由于系统元器件本身的非线性及参数的变化，以及系统外界或内部因素的影响，使得系统具有非常复杂的非线性特性，所以一般的线性系统的控制方法就在一定应用程度上受到限制。对于非线性系统的控制，大多数研究者都会采用将非线性系统近似线性化，然后采用线性系统的控制策略对非线性系统进行控制系统设计和控制。但是这种方法对于非线性特性不明显的系统的控制可能会有效，对于非线性特性十分强且系统控制精度要求高的非线性系统来说，很难采用一般的线性系统的控制方法来对其进行控制系统设计和控制。所以如何采用新的控制策略对非线性系统进行控制系统设计和控制受到了越来越多的研究人员的关注。如果系统至少包含一个非线性环节或单元，系统的运动规律将由非线性微分方程或非线性算子来描述，那么就称该系统为非线性系统。非线性系统是不满足叠加定理的，在对非线性系统的分析求解过程中，它的解不一定是唯一存在的，而且非线性系统具有自治系统自激振荡、系统频率响应跳变、系统解的分叉及类似于随机系统出现的混沌等特殊现象。

对于非线性控制系统来说，通常可以采用下面的公式对其进行数学描述：

式中：f是一种非线性函数；y是系统的输出量；u是控制量。式（1-1）也可以转化成一个一阶非线性方程组，如式（1-2）所示：

式中：ui（i=1，2，3，……，r）、yi（i=1，2，3，……，n）是状态变量、应用向量的表达方式，上式也可以写为如下的形式：

式中：u=（u1，u2，u3，……，ur）是系统的控制向量；y=（y1，y2，y3，……，yn）是系统的状态向量；f=（f1，f2，f3，……，fn）是速度向量。由该式描述的非线性控制系统，我们所希望的结果是对于每一个输入都可以满足下面的情况：一是至少存在一个解，也就是所谓的解的存在性；二是只存在一个解，也就是所谓的解的唯一性；三是对于时间半轴[0，+∞），式（1-3）只存在一个解；四是在[0，+∞）上，式（1-3）只存在一个解，并且此解与初始值y（0）存在连续变化的关系。然而这些条件对于非线性系统来说是非常苛刻的，而且只有函数f满足严格的要求才会实现。一般来说式子（1-3）的解很难找到，即使存在也不能表达成解析形式，也只能对它进行数值计算或者近似估计。由此我们可以知道，与线性系统的控制相比，对于非线性系统的控制就没有那么容易了。

目前非线性系统的分析及控制方法主要包括：描述函数法、相平面法、李雅普诺夫稳定性分析、奇异摄动法、针对绝对稳定性的波夫判据及圆判据、中心流形定理、小增益定理、无源性分析、增益规划、非线性阻尼、反演控制、滑动模式控制等。

描述函数（Describing Function）是控制系统中用近似方式处理非线性系统的方法，由Nikolay Mitrofanovich Krylov及尼古拉·博戈柳博夫在1930年代提出，后来由Ralph Kochen-burger延伸。描述函数是以准线性为基础，是用依输入波形振幅而变化的线性时不变传递函数来近似非线性系统的做法。依照定义，真正线性时不变系统的传递函数不会随输入函数的振幅而变化（因为是线性系统）。因此，其和振幅的相依性就会产生一群线性系统，这些系统结合起来的目的是概括近似非线性系统的特性。描述函数是少数广为应用来设计非线性系统的方法，描述函数是在分析闭回路控制器（例如，工业过程控制、伺服机构、电子振荡器）的极限环时，常见的数学工具。

相平面（Phase Plane）是在应用数学（特别是非线性系统）中，视觉化的展示特定微分方程特征的方式。相平面是一个由两个状态变数为坐标轴组成的平面，例如说（x,y）或（q,p）等。相平面是多维度相空间在二维空间中的例子。相平面法（Phase Plane Method）是指用绘图的方式，来确认微分方程的解中是否存在极限环。微分方程的解可以形成函数族。用绘图的方式，可以画在二维的相平面上，类似二维的向量场。向量会表示某一点对应特定参数（例如时间）的导数，也就是（dx/dt,dy/dt），会绘制在对应的点上，以箭头表示。若有够多的点，就可以分析此区域内的系统行为，若有极限环，也可以识别出来。整个场即可形成相图，在流线上的特定路径（一个永远和向量相切的路径）即为相路径（phase path）。向量场上的相表示微分方程所说明的系统随时间的演化。相平面可以用来解析物理系统的行为，特别是振荡系统，如猎食者—猎物模型（可参考洛特卡—沃尔泰拉方程）。这些模型中的相路径可能是向内旋转，慢慢趋近0，也可能是向外旋转，慢慢趋近无限大，或是接近中性的平衡位置。路径可能是圆形、椭圆或是其他形状。在判断其系统是否稳定时很有用。

在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（Lyapunov Stability）或称作李亚普诺夫稳定性，可用来描述一个动力系统的稳定性。李雅普诺夫稳定性可用在线性及非线性的系统中。不过线性系统的稳定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用来分析非线性系统的稳定性。李亚普诺夫稳定性的概念可以延伸到无限维的流形，即为结构稳定性，是考虑微分方程中一群不同但“接近”的解的行为。输入—状态稳定性（ISS）则是将李雅普诺夫稳定性应用在有输入的系统。

奇异摄动问题是指数学上一个含有小参数的问题，但不能直接把小参数设为零来求所有近似解的问题。在描述奇异摄动问题的方程里，小参数作为系数出现在含有最高阶次方或导数项里，如果按照常规摄动法把小参数设为零，将会导致方程降阶从而不能得到所有的近似解。奇异摄动的来源是这类问题里存在多个尺度。为了求得在每个尺度上的有效近似解，需要将方程用不同尺度规范化以得到新的方程。而新的方程则可以用常规摄动法来求近似解。

波夫判据（Popov Criterion）是非线性控制以及稳定性理论中的稳定性判据，由Vasile M.Popov所提出，是针对非线性特性满足开区间条件（Open-Sector Condition）非线性系统的绝对稳定性。波夫判据只适用于非时变的非线性系统，而圆判据可以用在时变的非线性系统。圆判据（Circle Criterion）是非线性控制及稳定性理论中，针对非线性时变系统的稳定性判据。可以视为是针对线性时不变系统（LTI）的奈奎斯特稳定判据之扩展版本。

反推控制（Backstepping）也称为反演控制或反步法，是一种控制理论的技术，在大约1990年时由Petar V.Kokotovic等人提出，针对特殊形式的非线性动力系统设计可以稳定系统的控制器。此系统是由许多子系统一层一层组成，最内层的子系统不可再简化，可以由其他方式稳定最内层的系统。由于此系统的递归结构，设计者可以以最内层可稳定的系统为起始点，反推新的控制器来稳定较外层的子系统，此程序会一直进行到处理到最外层的外部控制命令为止。因此此方式称为是“反推控制”。

滑动模式控制（Sliding Mode Control）简称SMC，是一种非线性控制的技术，利用不连续的控制信号来调整非线性系统的特性，强迫系统在两个系统的正常状态之间滑动，最后进入稳态[14～17]。其状态—反馈控制律不是时间的连续函数。相反的，控制律会依目前在状态空间中的位置不同，可能从一个连续的控制系统切换到另一个连续的控制系统。因此滑动模型控制属于变结构控制。已针对滑动模型控制设计了许多的控制结构，目的是让相空间图中的轨迹可以前往和另一个控制结构之间相邻的区域，因此最终的轨迹不会完全脱离某个控制结构。相反的，轨迹会在控制结构的边界上“滑动”。这种沿着控制结构之间边界滑动的行为称为“滑动模式”，而包括边界在内的几何轨迹称为滑动曲面（Sliding surface）。在现代控制理论的范围中，任何变结构系统（如滑动模式控制）都可以视为是并合系统的特例，因为系统有些时候会在连续的状态空间中移动，有时也会在几个离散的控制模式中切换。(www.daowen.com)

与线性系统相比，非线性系统区别于它的一个最主要的特征是，叠加原理不再适用于非线性系统。由于这个性质，就导致了非线性系统在学习和研究上的复杂性。也因为非线性系统的复杂性，致使其理论的发展与线性系统理论相比，显得稚嫩和零散。非线性系统本身的复杂性及其数学处理上的一些困难，造成了到现在为止仍然没有一种普遍的方法可以用来处理所有类型的非线性系统。

由于非线性现象能反映出非线性系统的运动本质，所以非线性现象是非线性系统所研究的对象。但是用线性系统理论的知识却是无法来解释这类现象的，其主要缘故在于非线性系统现象有自激振荡、跳跃、谐振、分谐波振荡、多值响应、频率对振幅的依赖、异步抑制、频率插足、混沌和分岔等。

非线性系统与线性系统相比较，其具有了一系列新的特点：

（1）叠加原理不再适用于非线性系统，但是具有叠加性和齐次性却是线性系统的最大特征。

（2）非线性系统经常会产生持续振荡，即所谓的自持振荡；而线性系统运动的状态有两种：收敛和发散。

（3）从输入信号的响应来看，输入信号不会对线性系统的动态性能产生任何影响，但是输入信号却能影响非线性系统的动态性能。而且对于非线性系统来说，系统的输出可能会产生变形和失真。

（4）从系统稳定性角度来说，输入信号的种类和大小以及非线性系统的初始状态，对非线性系统的稳定性都有影响，但是在线性系统中，系统的参数及结构就决定了系统的稳定性，且系统的输入信号和初始状态对系统的稳定性没有丝毫关系。

（5）当正弦函数为输入信号时，非线性系统的输出是会有高次谐波的函数，而且函数的周期是非正弦周期的，就是说系统的输出会产生倍频、分频、频率侵占等现象，但是对线性系统来说，当输入信号为正弦函数时，系统的输出是同频率的正弦函数，也是一个稳态过程，两者仅在相位和幅值上不同。

（6）在非线性系统中，互换系统中存在的串联环节，也许将导致输出信号发生彻底的改变，或者将使稳定的系统变为成一个不稳定的，但是对于线性系统来说，系统输出响应并不会由于互换串联环节而发生变化。

（7）非线性系统的运动方式比线性系统要复杂得多，在一定的条件下，非线性系统会有一些特殊的现象，例如突变、分岔、混沌等现象。

由于现在还没有普遍性的系统性的数学方法，可以用来处理非线性系统的问题，所以对非线性系统的分析要比线性系统复杂很多。从数学角度来看，非线性系统解的存在性和唯一性都值得研究；从控制方面来看，即使现为止的研究方法有不少，但能通用的方法还是没有。从工程应用方面来看，很多系统的输出过程是很难能精确求解出来的，所以一般只考虑下面3种情况：

（1）系统是不是稳定的。

（2）系统是不是会产生自激振荡以及自激振荡的频率和振幅的计算方法。

（3）怎么样来限制系统自激振荡的幅值以及用什么方法来消除它。