性质B-4（均值线性性）不管随机变量独立与否，有如下线性关系：

证明

注意上面的推导中每一步变换都与X和Y之间是否独立无关，故成立。

性质B-5 如果两个随机变量X和Y独立，则

E[XY]=E[X]E[Y]（B-15）

E[（X-E[X]）（Y-E[Y]）]=0（B-16）

证明 直接用均值定义推导

独立保证上面推导中P（x，y）=P（x）P（y）。

性质B-6 随机变量X的方差满足

Var[X]=E[X²]-（E[X]）2

证明 根据方差定义有

Var[X]=E[（X-E[X]）2]=E[X²-2XE[X]+（E[X]）2]（B-17）

再根据“均值线性性”性质得

Var[X]=E[X²]-2E[X]²+E[X]²=E[X²]-（E[X]）2

定义B-12（协方差（Covariance））随机变量X和Y的协方差为

Cov（X，Y）=E[（X-E[X]）（Y-E[Y]）]（B-18）

=E[XY]-E[X]E[Y]

特别地，若X和Y独立，则(www.daowen.com)

Cov（X，Y）=0（B-19）

性质B-7（随机变量和的方差）两个随机变量X和Y之和形成的随机变量X+Y的方差Var[X+Y]满足

Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y]+2Cov（X，Y）（B-20）

特别地，如果X和Y独立，那么

Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y]（B-21）

证明 仍然根据定义推导即可，

仅需要一步步展开，再应用均值线性就行了。

定义B-13（随机变量相关系数）两个随机变量X和Y，称

为X和Y的相关系数。特别地，如果随机变量X和Y独立，

Cov（X，Y）=0（B-23）

且称此时X和Y无关或不相关。如果随机变量X=CY，C为常数，那么

Cov（X，Y）=1（B-24）

且称此时X和Y完全相关。

证明 假设X和Y独立，应用上面讲的性质B-5，展开分子得

假设X=CY，则

按照上面相关系数的定义，独立必然无关，但反过来不成立，即两个随机变量无关并不能说明两个随机变量独立。