投影是上面讲的最佳近似的一个几何语言描述，主要内容是一样的，大概讲一下。

定义A-10（投影）内积空间V里的一个向量x在该内积空间的一个子空间V＇里的最佳近似称为该向量x在该子空间V＇上的投影，记为Proj_v＇（x）。

性质A-8 若V是上的内积空间，其子空间V＇的一组正交基为{v₁，v₂，…，v_m}，则x在V＇上的投影为

C₁v₁+C₂v₂+…+C_mv_m

其中，。

证明 要使得

最小，即C₁，C₂，…，C_m为一个极点，对C_i分别求偏导置0得

综合上面正交原理和坐标表示，可以得到下面的命题形式。(www.daowen.com)

性质A-9向量x与x在v方向上的投影的差向量与v正交，即

回忆一下几何里，欧氏平面上向量之间夹角的刻画：平面上两向量u和v之间的夹角可以用该夹角对应的余弦值来刻画。假设该夹角为α，则

类似地，我们可以把夹角的概念推广到任何内积空间。

定义A-11（向量之间的夹角）在复数域上的内积空间中两向量u和v的夹角，类比欧氏平面上向量之间夹角的刻画，可以采用“余弦”来描述，即u在v上的投影Proj_v（u）与u的模的比值

从前面的Cauchy-Schwarz不等式知道，上面的式子小于等于1，所以定义成“余弦”也比较合理。

图A-1 欧氏平面夹角及余弦