性质A-5如果一组向量{v₁，v₂，…}两两正交，那么它们构成无关组，从而构成某个空间的基，称为正交基。进一步，若有|v_i|=1，则称该组基为一组标准正交基。

证明 采用反证法。假设向量组{v₁，v₂，…}是相关的，那么根据定义，存在不全为0的数k_i，i=1，2，…，使得

那么，必然有

但是，另一方面，

因为所有<v_i，v_i>>0，且存在某个k_j≠0，从而必然

与上面结论矛盾。因此，正交向量组是无关的，可构成某个空间的一组基。

性质A-6（正交基下坐标）若向量v在一组正交基{v₁，v₂，…}下的坐标为k_i，即v=∑k_iv_i，那么(www.daowen.com)

证明

当然，这里也可以利用A.2.3节讨论的坐标通用求解方法K=A^-1Y来求解，注意此处A=diag{<v₁，v₁>，<v₂，v₂>，…}，从而，即有上面的命题。

定理A-4（模与坐标关系）若向量v在一组正交基{v₁，v₂，…}下的坐标为k_i，即v=∑k_iv_i，那么

特别地，若正交基为标准正交基，那么

需要说明的是，一般讨论向量时，都是认为向量是从原点出发的，但事实上，将原点出发的向量任意平移后，表示的实质上仍然是同一个向量。所有这些非原点出发的向量的表示，可以相应的把基向量也来一个平移。注意，这里“平移”是一个广义的概念，后续具体碰到相关问题时，我们再细说明。