1.目标函数

无功优化问题大多以网损最小为目标函数。在一个实际的电网中，网损可以表示为所有节点注入功率和的形式：

式中 N——系统当中所有节点的数量。

在地区电网中，由于很少有发电机节点，所以节点类型只有两种：平衡节点和负荷节点。平衡节点的选取是地区电网与输电网的交汇点（一般是变电站的220kV母线），平衡节点实际上就是地区电网的电源点，将上式展开，有

式中 N_S——平衡节点的数量，负荷节点的数量为N-N_S。

因为负荷节点的注入有功功率是确定的，无功优化问题也可以表示为平衡节点注入有功功率最小的形式：

地区电网与输电网通常有多个交汇点，所以平衡节点数量较多，N_S通常也是大于1的。展开后得

式中 G′_ij，B′_ij——相应的节点导纳阵元素，对于变压器支路，当j≠i时，有

G′_ij=G_ij/t_l， B′_ij=B_ij/t_l （7-5）

当j=i时，有

式中 B_ij0——线路i-j的1/2对地电纳。对于普通支路，有

G′_ij=G_ij， B′_ij=B_ij （7-7）

式中 t_l——连接节点i，j之间的变压器电压比；

G_ij，B_ij——节点i，j之间支路的导纳。

2.状态变量和控制变量

在节点电压方程中，节点电压的幅值和相角（极坐标系中）或者实部和虚部（直角坐标系中）就是整个无功优化问题的状态变量。

控制变量通常是节点的无功补偿容量。地区电网中是以电容器组为无功补偿的主要设备，而电容器组的容量是确定的，设为Q_Ck（k∈N_C），那么控制变量以X_Ck来表示，是0，1变量，X_Ck=0表明电容器组k不投入；X_Ck=1表明电容器组k投入。其中N_C无功补偿节点集合，在地区电网中并不是所有的节点都有无功补偿装置的，即N_C⊂N。

因为电容器组的可投切容量是不连续的，而当存在可连续投切的无功补偿装置时，如SVC，控制变量X_Ck就不需要了，而以Q_Ck为控制变量。

此外，控制变量中还包括能够代表有载调压变压器电压调整的变压器电压比，以t_l（l∈L_T），L_T为变压器支路集合，有L_T⊂L，L为支路集合。

3.约束条件

静态无功优化问题的约束条件有等式和不等式约束。等式约束即为潮流方程，当以节点电压形式的极坐标方程表示时，有

式中 Q_Ci——节点i的无功补偿容量，当i∉N_C时，Q_Ci=0。

不等式约束主要表现在控制变量约束和状态变量的约束上。关于状态变量的不等式约束有(www.daowen.com)

式中 U^min_i，U^max_i——节点i电压的上下限。

关于控制变量的不等式约束有

式中 Q^min_Ck，Q^max_Ck——节点k无功补偿容量的上下限，对于电容器组，下限Q^min_Ck=0；

t^min_l，t^max_l——变压器l可调电压比的上下限。

则由式（7-4）、式（7-8）～式（7-11）即构成了静态无功优化问题的数学模型，上述数学模型是相对较简单的，没有考虑电容器组的投切次数限制、线路潮流限制等约束。在大部分情况下，无功优化计算只是一种地区电网的辅助分析工具，所以按照上述模型的计算结果是能够满足实际应用需要的。

4.库恩-塔克条件

上述无功优化问题可以描述为标准的非线性规划模型，目标函数为

min f（x） （7-12）

满足等式约束：

g（x，u）=0 （7-13）

以及不等式约束：

h（x，u）≤0 （7-14）

式中 x，u——状态变量和控制变量；

f（x）——标量的形式。

因为目标函数（7-12）中不含控制变量，所以只是状态变量x的函数。

对于上述非线性规划问题，大部分计算方法都是通过求解其一阶最优性条件——库恩-塔克条件来进行的。库恩-塔克条件（简称K-T条件）首先形成拓展的拉格朗日函数：

min f（x）+β^Tg（x，u）+γ^Th（x，u） （7-15）

然后分别对状态变量、控制变量和各个拉格朗日乘子求导，得到

式中 β，γ——对应等式约束和不等式约束的拉格朗日乘子；

[h（x，u）]——以h_i为元素的对角矩阵。

式（7-20）也称为互补松弛条件，即不等式约束的等号成立时，相对应的拉格朗日乘子不为0；否则，拉格朗日乘子γ=0。由此可见，对应不等式约束的拉格朗日乘子具有突变的特点，这给计算非线性规划问题带来了一定的困难。

从数学理论上讲，库恩-塔克条件是非线性规划问题取得最优解的必要条件，但不是充分条件，找到库恩-塔克条件的解以后，一般可以找到非线性规划问题的局优解，但不一定是最优解。要精确地获取非线性规划的最优解，其中涉及的问题很多，包括可行域是否是凸空间，算法能否从局优解中跳出、能否收敛等，而且耗费的计算时间较多，这在电压无功的实际调控中是不允许的。而对于无功优化问题而言，在实际应用中，利用一个局优解形成的电压无功调控方案往往也是可以接受的。