1.问题及求解公式的构造方法

我们讨论的一阶微分方程的初值问题为

设初值问题式（7-30）的解为y （x），为了求其数值解而采取离散化方法，在求解区间[a、b]上取一组节点

称hi=xi+1-xi（i=0，1，…，n-1）为步长。在等步长的情况下，步长为

用yi表示在节点xi处解的准确值y （xi）的近似值。

设法构造序列{yi}所满足的一个方程（称为差分方程）

作为求解公式，这是一个递推公式，从 （x0，y0）出发，采用步进方式，自左相右逐步算出y （x）在所有节点xi上的近似值yi（i=1，2，…，n）。

在式（7-31）中，为求yi+1只用到前面一步的值yi，这种方法称为单步法。在式（7-31）中的yi+1由yi明显表示出，称为显式公式。而形如

的公式称为隐式公式，因为其右端ψ中还包括yi+1。

如果由公式求yi+1时，不止用到前一个节点的值，则称为多步法。由式（7-30）可得

两边在[xi，xi+1]上积分，得

由此可以看出，如果想构造求解公式，就要对右端的积分项作某种数值处理。这种求解公式的构造方法叫做数值积分法。

2.一般的初值问题的解法

（1）欧拉格式和改进欧拉格式。对于初值问题式（7-30），采用数值积分法，从而得到式 （7-34）。对于式（7-34）右端的积分用矩形公式（取左端点），则得到

进而得到式（7-30）的求解公式为

此公式称为欧拉（Euler）格式。

如果对式（7-34）右端的积分用梯形公式

则可以得到初值问题式（7-30）的梯形求解公式为

（2）龙格—库塔法。在单步法中，应用最广泛的是龙格—库塔 （Runge Kutta）法，简称R—K法。下面直接给出一种四阶的龙格—库塔法的计算公式，即

它也称为标准（古典）龙格—库塔法。

【例7-11】 研究下列微分方程的初值问题

解：这是一个特殊的微分方程，其解的解析式可以给出，即

应用龙格—库塔法，取h=0.25，根据式 （7-38）编写一段程序，由零开始自左相右逐步算出y（x）在所有节点xi上的近似值yi。计算结果见表7-11。计算结果表明，四阶龙格—库塔法的精度是较高的。(www.daowen.com)

表7-11　[例7-11]的计算过程和结果

实际上，MATLAB为常微分方程提供了很好的解题指令，使得求解常微分方程变得很容易，并且能将问题及解答表现在图形上。因此，我们可以不用根据式 （7-38）编写较复杂的程序，而只需应用MATLAB提供的常微分方程解题器来解决问题。下面给出用MATLAB5.3编写的解题程序。

首先编写描述常微分方程的ODE文件，文件名为‘myfun’，便于解题器调用它。

运行上述程序，在得到几个点的函数值的同时，也得到函数y的曲线，如图7-9所示。