数学公式表示变量之间的相互关系,不但简单,而且可使用计算机。在某些场合,可以根据理论推导或实际经验选定公式的类型。但有时由于知识水平所限,不能根据实验数据确定因变量与自变量之间函数关系的类型,此时可将待处理曲线进行对照,加以选择。其步骤如下。

1.比较曲线的图形,选择公式的类型

通过比较,用实验数据标绘的曲线,与某种已知的典型函数曲线相似,就采用那种函数曲线的方程作为待定的经验公式。但实验曲线往往同时与几种已知的典型函数曲线相似,因此就有一个选择哪种经验公式更适宜的问题。

一般来说,应尽量选择便于线性化的函数关系,并进行线性化检验。所谓线性化就是将非线性函数y=φ(x,a,b)转换成线性函数Y=A+BX,其中a、b是待定常数;A、B是a、b的函数;x、y是实验数据点;X、Y是x、y的函数。

至于所选经验公式是否合适,可选数个彼此相距较远的点(X、Y)在直角坐标系上作图,若作出的图形基本是直线,则可认为所选公式是合适的。若不是直线,说明所选曲线不合适,应重新选择经验公式,直至所绘曲线为一条直线。之所以要求直线,是为了在离散点图上,能方便而准确地画出所求经验公式所需的直线。

如

取对数后,得

令lg y=Y,lg x=X,lg K=a(常数)则式(2-20)转化成

转化后,用对数坐标系标绘x-y关系便可获得直线。

又如

取对数后,得

令

则式(2-23)转化为

此时采用半对数坐标系(纵坐标为对数轴,横轴为普通轴)标绘x-y数据亦可获得直线。

经过挑选和线性化检验合适后,下一步就需要确定公式中的常数,以得出完善的数学模型。

2.确定公式中的常数值

凡可以在普通坐标系上把数据标绘成直线或经过适当变换后在对数坐标系上可化为直线时,均可采用直线图解法求常数,如图2-8所示。

图2-8　对数坐标上直线斜率和截距的图解法

如图2-8中的AB,其方程原来的形式为y=Kxb,经线性化后变为Y=b X+a。求直线斜率b有以下两种方法。(www.daowen.com)

(1)先读数后计算。即在标绘直线上读取两对x、y值,然后按下式计算:

(2)先测量后计算。用直尺量出直线上1、2两点之间的水平及垂直距离,按下式计算:

直线截距的求法:

在y=Kxb中,x=1时y=K,因此系数K之值可由直线与平行于y轴且x=1的直线交点的纵坐标确定。有时在图上找不到平行于y轴x=1的直线,所以也常用下面的方法:由直线上任一已知点(例如点1)的坐标和求出的斜率b,按下式计算:

下列函数关系式,各含有两个变量、两个常数,并能线性化。它们可作为寻找线性化数学公式的参考: