成像光学系统如图1所示。令物距为d₀，像距为d₁，并且满足透镜定律：（1/d₀）+（1/d₁）=（1/f）。其中，f是透镜L的焦距。

用单色平面波照明物体，则入射波场可表示为

E（x，t）=E₀exp{-i[ω₀t-k₀x]} （1）

式中，x=（x，y）是物面坐标；ω₀是照明光波的角频率；k₀是照明光波的波矢；E₀是常数值振幅。设散射体以速度矢v在XY平面内运动，并设散射体的微观结构仅改变照明光波的相位，由此可以得到从散射体粗糙表面散射的光波场的表达式，即

E′（x，t）=E（x，t）exp{iφ（x-vt）} （2）

式中，φ（x-vt）是一个随机函数，为方便起见，可令x′=x-vt，于是式（2）可以写成

E′（x，t）=E（x，t）exp{iφ（x′）} （3）

可以把式中的φ（x′）看成是随机的位相调制因子，它与散射体的表面粗糙度有关。

图1 成像光学系统

由傅里叶光学可知，成像光学系统是一种线性系统，它的像面波场可以由下列叠加积分表达

式中，X=（X，Y）是像面坐标；h（x，X）是光学系统的脉冲响应。对于理想成像系统，脉冲响应h（x，X）可以近似地写成^[4]

h（x，X）≈Kδ（X±Mx）， （5）

式中，正负号表示允许像是倒立或正立的；M=（d₁/d₀）是成像系统的放大率。由式（1）～式（4），我们可以得到像面动态散斑振幅的空-时相关函数的一般表达式，即

式中，＜…＞表示集平均。交换求平均与求积分的顺序，并将式（5）和式（1）代入，则得到理想成像系统像面动态散斑振幅的空-时相关函数为

以下要对积分中的＜exp{i[φ（x₁′）-φ（x₂′）]}＞作一些统计分析。此处，借助于Karhunen-Loeve定理^[6]，将随机函数φ（x）用一个正交函数集{φ_j（x）}展开成级数形式。于是，有(www.daowen.com)

同样，还可以证明另一关系式，即

将式（9）代入式（8）得到

假定φ（x）是一个平稳过程，则有

＜φ²（x₁′）＞=＜φ²（x₂′）＞=＜φ²＞

利用这个关系，式（10）可以简单写成

这是一个重要的结果。关于式（11）的两点讨论如下：

1）位相调制函数的相关依赖于＜φ²＞和＜φ（x₁′）φ（x₂′）＞/＜φ²＞，前者仅与散射体粗糙表面的方差有关，而后者与粗糙表面的相关函数有关。

2）粗糙表面的归一化相关函数＜φ（x₁′）φ（x₂′）＞/＜φ²＞可用来表示相关面积，因为

其中，概率密度与归一化函数φ₁φ₂^*/＜φ²＞均无量纲，所以积分结果具有面积的量纲。当散射体的相关面积很小时，可以假定

将这个假设条件代入式（11），有

进而，我们假定散射体表面足够粗糙，即满足＜φ²＞＞＞1。这个假定对于大多数工程问题是可以满足的。于是有exp[-＜φ²＞]≈0，由此可知，相位调制函数的相关满足条件为

根据上述讨论，我们可以把像面动态散斑的振幅空-时相关函数式（7）简化成

利用δ函数的定标性质和筛选性质，经运算和整理后得到

式（16）就是最后得到的理想成像光学系统像面动态散斑的振幅空-时相关函数。可见，＜E₁″，E₂″＞仅是与τ和r有关的函数。由此可知，像面的散斑振幅涨落仍保持“平稳过程”条件。