考虑如下偏微分方程组［1］:

1. 线性方程组

若矩阵A 和向量B 与变量U 无关，或A 与U 无关且B 为U 的线性函数，则该一阶偏微分方程组为线性方程组；若矩阵A 和向量B 为常数，则为常系数线性方程组。

2. 准线性方程组

矩阵A 是变量U 的函数，即A =A( U )。

3. 齐次方程组满足B = 0

需要注意的是，准线性方程组实际上是非线性方程组。

通常来说，对于一个偏微分方程组，需要给定其自变量的取值范围并给定未知量在边界处需要满足的条件，才能够获得存在且唯一的解。例如xl ≤ x ≤xr ,t0≤t ＜ ∞，在空间边界 xl和 x r处给定的条件称为边界条件（boundary condition，BC），在起始时刻给定的条件称为初始条件（initial condition，IC）。而对于某些方程（组），即使给定了这些条件，也找不到存在且唯一的解。

线性对流方程（或简称对流方程、平流方程）是最简单的线性方程：

1. 线性方程组

若矩阵A 和向量B 与变量U 无关，或A 与U 无关且B 为U 的线性函数，则该一阶偏微分方程组为线性方程组；若矩阵A 和向量B 为常数，则为常系数线性方程组。

2. 准线性方程组

矩阵A 是变量U 的函数，即A =A( U )。

3. 齐次方程组满足B = 0

需要注意的是，准线性方程组实际上是非线性方程组。

通常来说，对于一个偏微分方程组，需要给定其自变量的取值范围并给定未知量在边界处需要满足的条件，才能够获得存在且唯一的解。例如xl ≤ x ≤xr ,t0≤t ＜ ∞，在空间边界 xl和 x r处给定的条件称为边界条件（boundary condition，BC），在起始时刻给定的条件称为初始条件（initial condition，IC）。而对于某些方程（组），即使给定了这些条件，也找不到存在且唯一的解。

线性对流方程（或简称对流方程、平流方程）是最简单的线性方程：

这里的a 为常数，被称为对流速度。

Burgers 方程为最简单的准线性方程：

这里的a 为常数，被称为对流速度。

Burgers 方程为最简单的准线性方程：

1. 守恒律

如果一个偏微分方程组可被写成式（4.4）所示的形式：

1. 守恒律

如果一个偏微分方程组可被写成式（4.4）所示的形式：

则该方程组可被称为变量U 的守恒律（conservation laws）。

则该方程组可被称为变量U 的守恒律（conservation laws）。(www.daowen.com)

F (U )被称为通量（fluxes）函数，其各元素均是变量元素的函数。

F (U )被称为通量（fluxes）函数，其各元素均是变量元素的函数。

2. 雅克比矩阵

通量函数的雅克比矩阵（Jacobian matrix）为

2. 雅克比矩阵

通量函数的雅克比矩阵（Jacobian matrix）为

利用雅克比矩阵可将守恒律改写为准线性形式：

利用雅克比矩阵可将守恒律改写为准线性形式：

例如对流方程：

例如对流方程：

Burgers 方程：

Burgers 方程：

3. 特征值与特征向量

矩阵A 的特征值为其特征方程的解：

3. 特征值与特征向量

矩阵A 的特征值为其特征方程的解：

其中，I 为单位矩阵。如果A 为形如式（4.6）的方程组的系数矩阵，则A 的特征值也称为方程组的特征值。从物理的角度而言，特征值代表了信息的传递速度，例如对流方程（4.7）的参数a 即方程特征值，它在物理层面代表的是对流速度。

其中，I 为单位矩阵。如果A 为形如式（4.6）的方程组的系数矩阵，则A 的特征值也称为方程组的特征值。从物理的角度而言，特征值代表了信息的传递速度，例如对流方程（4.7）的参数a 即方程特征值，它在物理层面代表的是对流速度。

4. 双曲型方程组

对于方程组（4.6），若在点( x, t )系数矩阵A 有m 个实特征根和对应的m 个线性无关的右特征向量K (1),K(2),…,K ( m)，则其为双曲型方程组；若实特征根两两互异，则称为严格双曲型。

若A 有m 个复特征根，则为椭圆形方程组。其余情况为抛物型方程组。

对流方程（4.10）的特征值a 和Burgers 方程的特征值u 均为实数，因此它们都是双曲方程。对流方程的a 为常数，是最简单的双曲方程。同时它也是研究双曲方程数值解法的重要模型，本章对于数值解法的探讨也正是从它开始。

4. 双曲型方程组

对于方程组（4.6），若在点( x, t )系数矩阵A 有m 个实特征根和对应的m 个线性无关的右特征向量K (1),K(2),…,K ( m)，则其为双曲型方程组；若实特征根两两互异，则称为严格双曲型。

若A 有m 个复特征根，则为椭圆形方程组。其余情况为抛物型方程组。

对流方程（4.10）的特征值a 和Burgers 方程的特征值u 均为实数，因此它们都是双曲方程。对流方程的a 为常数，是最简单的双曲方程。同时它也是研究双曲方程数值解法的重要模型，本章对于数值解法的探讨也正是从它开始。