如前文所述，燃气射流包含膨胀波、激波和涡等复杂的流动结构。研究燃气射流的方法可分为三类，即实验、理论分析和数值计算。第3 章的内容是对燃气射流进行理论分析的基础，不难看出，理论分析需要做大量的简化假设，多用于分析简单边界的纯气相定常流动。在实际应用中，发射设备和地形环境等通常包含复杂几何边界，燃气射流的非定常效应举足轻重，有时还需考虑射流中的化学反应以及气相以外的其他相，这些情况下理论分析往往难以开展。计算流体力学（computational fluid dynamics，CFD）和计算机技术的发展为燃气射流的数值计算提供了基础，使数值计算成为当前燃气射流研究的主要手段。本章对燃气射流的数值计算所用数值方法做扼要介绍，重点讲述有限体积法中的Godunov 型方法［1］，该类方法适用于求解燃气射流这类可压缩流动。

需要注意的是，CFD 作为数学和力学的交叉学科而诞生，至今已历百余年，包含了极其丰富的研究成果。本章只是根据作者浅薄的理解，摘取其中与燃气射流数值计算紧密联系的部分做浅显的梳理，以帮助相关领域的读者入门。因此，本章不是对相关所有方法的详细介绍，也不是对Godunov 型方法的完整介绍。考虑到知识体系的完善性，对于受篇幅限制无法展开讲解的内容，指出参考文献和扩展阅读材料，以备感兴趣的读者自学。

顾名思义，燃气射流的数值计算，是指采用数值的方法求解燃气射流的数学模型，得到流场内各个参数的时空分布的近似解。

燃气射流的数学模型，是指根据一定的物理规律建立方程，以描述射流内各参数的时空变化规律。典型的如本书第2 章，在满足连续介质假设的前提下，根据质量守恒、动量定理和能量守恒建立了流体的质量、动量和能量输运方程，即NS 方程组。这一模型关注的是宏观描述（macroscopic description）下流体的宏观物理量，即在较大时间和空间尺度下流体的平均状态。对流体状态的描述方法除宏观描述以外，还有微观描述（microscopic description）和介于宏观、微观之间的介观描述（mesoscopic description）［2］。微观描述着眼于每个流体分子的运动，根据牛顿第二定律或者哈密尔顿能量演化规律建立分子动力学模型。求解出系统内各分子的运动状态之后，可应用统计方法分析流体的宏观状态。介观描述则基于微观描述的哈密尔顿表述，运用相空间的概率密度函数所满足的Liouville 方程建立系统状态的介观模型。求解出概率密度函数之后，根据相空间变量和宏观状态量之间的关系，可求得流体的宏观状态。

扩展阅读

GUO Z L, SHU C. Lattice Boltzmann method and its applications in engineering［M］．Singapore: World Scientific, 2013.(www.daowen.com)

1.1 节

上述数学模型均为复杂微分方程，通常情况下难以得到解析解，只能采用数值的方法求近似解，即将微分方程采用某种方法近似地离散为代数方程，再利用计算机求得离散时空点上的近似解。前者正是本章讨论的主要内容，而后者则包含于线性代数的研究内容，本章将不予讨论。

可见，此处提到的数值解通常会包含两类误差——离散误差和求解误差。离散误差是指以代数方程近似微分方程带来的误差，也称截断误差；而求解误差是指求解代数方程的过程产生的误差，它包含计算机的有限字长带来的圆整误差和采用迭代法求解时的收敛误差等。如果再考虑建立的数学模型与实际物理过程的偏差（又称模型误差），则数值解与真实物理状态的偏差将主要有三类，它们之间孰轻孰重取决于所研究的问题。总而言之，数值解只是真实物理过程的近似。因此，它在实际应用中往往不能单独发挥作用，而要与实验和理论分析相结合。一般来说，只有得到检验和验证的数值方法和数值解，才可以用于指导工程实践。某些情况下，利用数值方法开展数值实验能找到一些有意义的规律，这些规律也是可以用于指导工程实践的。

本章讨论的燃气射流的数值解基于射流状态的宏观描述建立数学模型，即第2 章讨论的NS 方程组，从方程的基本性质入手，以具有相似性质的最简单的一维方程为例，探讨这类方程的数值解法，再逐步将该解法推至NS 方程的求解，进一步给出多维燃气射流问题的求解方法，最后介绍两种常用的射流仿真平台。