目前为止，我们推导得出了积分形式与微分形式的守恒方程。其中，微分形式的控制方程组为

本小节主要介绍本构关系式。从2.1.4 小节中可以知道，对于牛顿流体，在平行剪切流动中满足

这是一种线性关系。对于一般的流动，由于流体的黏性并不局限于某一个方向的剪切，因此式（2.53）并不恒成立。尽管如此，对于牛顿流体，黏性应力与速度梯度之间仍然满足一定的线性关系。而这种线性关系，实质上是包含在流体的本构关系中的。所谓流体的本构关系，指的是对于某种流体物质，其应力张量σ 与应变率张量S 之间的关系。在三维笛卡儿坐标系下，二者分别定义为

对于各向同性的牛顿流体，其本构关系式为

结合式（2.54）和式（2.62）可得

其分量形式为

如果认为式（2.64）黏性系数为常数（实际上至少是温度的函数），那么已经建立了黏性应力与速度的关系。这样，就可以将控制方程中的黏性应力用速度梯度代替。事实上，单纯从封闭控制方程的角度来说，本构关系讲到这里就可以了。接下来，我们额外介绍一些关于流体本构关系的其他知识。(www.daowen.com)

首先，定义体积黏性系数：

代入式（2.62）可得

如果流体微团时刻保持热力学平衡，则κ =0 ，此时有

实际情况下，对于任意一个封闭的热力学系统，从热力学非平衡态转换为热力学平衡态都需要一定的时间，不可能瞬时完成。因此，式（2.68）实际上是针对恢复平衡时间远小于流场特征时间尺度时的一种近似。这一近似是由Stokes 提出的，没错，就是大家在学习流体力学时时常出现的那个名字。我们推导的流体力学控制方程组，也叫Navier-Stokes（NS）方程。

前面的推导都是限定在各向同性的牛顿流体。对于各向异性的牛顿流体，各个方向的动力黏性系数是不同的，即

而对于非牛顿流体，其本构关系是非线性的。尽管我们依然可以得到形如式（2.64）的关系式，但是动力黏度系数不再是与应变率张量无关的量，而是应变率张量的函数。