在本章，我们的目标是获得一个给定信号的功率相对于频率的分布状态，这就叫做功率谱。回忆一下一个输出值是复数的FFT，在这里我们的注意力将只集中在功率谱的量级，并且不关心相位。然而相位响应对于一些应用来说也许是很重要的，我们在这里不涉及它是为了使讨论保持的长度恰当。

如果一个离散时域信号x（n）作为FFT的输入被提供，输出是X[k]，即FFT{x[n]}=X[k]

回忆一下，在这个时域的等式中，随着n的增加，这个信号时间分辨率是T_S=1/F_S。在频域等式中，每增加一个k，频率的分辨率是Δf=F_S/N，这里N是FFT的长度。Δf的值叫作频谱的频率分辨率。如果x[n]是原始的电压随时间变化信号或者电流随时间变化信号，那么结果X[k]将分别是电压随频率或者电流随频率变化的信号。为了得到归一化的功率谱（例如阻抗归一化为1Ω），我们正好用这个关系式

X[k]²=（X[k]_real）2+（X[k]_imaginary）2这将生成一个随频率变化的平方量值（单位为W）。

对于例子来说，要如何解释基于FFT的功率谱运算结果，让我们回忆一下FFT的几方面问题。FFT（就像DFT）的输出点数量和输入数据点相同，在复数形式中，它是作为输入数据点来提供的。如果输入信号是实数，输出量值将是关于点F_S/2对称的，在这里k=N/2。从k=0一直到k=N/2（如一直到F_S/2点），我们解释那个k值符合f=kΔf=kF_S/N。在k=N/2点以下，这个k值与负数频率相一致，并且作为f=-[（N-k）Δf]=-[（N-k）F_S/N]来解释它们。现在让我们继续看这个例子。

假定一个信号x（t）用F_S=48kHz的采样频率采样2s，我们将获得96000个数据点。这样x[n]存在的n值范围是0≤n≤95999。如果我们使用一个相当大的x[n]进行FFT，例如对N=65536数据点进行FFT{x[n]}^[31]，那么将生成x[k]的k值范围是0≤k≤65535。这种情况下，Δf≈0.732Hz。如果这个FFT的幅度的二次方在k=100处显示一个突出的尖峰（并且在k=N-100=65436的负频率组成部分也是一样的尖峰值），这将意味着这个信号的有效功率在f≈732Hz处。如果我们采用一个长度更合理的FFT，比如N=4096，那么Δf≈11.7Hz。如果这个FFT的幅度二次方在k=100处显示一个突出的尖峰（并且在k=N-100=3996的负频率组成部分也是一样的尖峰值），将意味着这个信号的有效功率在f≈1170Hz处，而不是前面那样在f≈732Hz处。然而，只改变FFT的长度就改变了频率分辨率Δf，这些改变了我们对FFT结果的解释方式。

对于实时频谱分析来说，我们需要使FFT的长度适度减小有两方面原因：(www.daowen.com)

（1）一个大规模的FFT运算可能需要花费更长的时间而不能达到实时的进度。

（2）一个大规模的FFT运算可能需要花费更长的时间而不能得到当前的结果（即使它能够实时地完成计算），也许超过期望的反应时间，或者也许对信号频率变化引起的信号内容变化没有做出快速反应。

如上所述，大规模FFT的结果与我们希望的比起来有较高的频率分辨率（即这里的Δf非常小）：在上面的第一个例子中的分辨率小于0.7Hz，这是没有必要的过度行为。另一方面，如果我们选择的N值太小，那么FFT的计算非常迅速，频率分辨率Δf用起来就太大了。由于许多工程都要折中，“最佳”FFT大小的选择并不是太明确。

一般而言，对于实时频谱分析你将要写一个基于帧的程序（因为FFT运算需要多于一个采样周期的时间）连续计算每一个新帧的数据，并且提供输出功率谱并在PC上显示。可是，它并不是那么简单的。

事实证明，为精确评估信号的功率谱，有时在计算中再多几个步骤反而是更好的。对于韦尔奇周期图这样的例子，利用FFT计算功率谱是一个非常流行的方法。在每一帧数据上使用了一个平滑窗（如下所述），将若干帧数据的功率谱平均，并且将数据按照某个百分比（通常是50%）从一帧到下一帧进行交叠。要进一步讨论的这些更细致的观点超出了本书的范围，要进行更清晰的讨论请参见参考文献[15]。