3.带有其他频率的正弦和余弦对于N生成一个合理的值。我们在5.1节中讨论中假设k=1，为了求N，我们用F_S除以需要的频率f。表5.1列出了几个可能的频率和相应的N值。所有的右列表格项都基于F_S=48kHz。例如，为产生一个4800Hz的余弦波形，我们只需要计算这个序列的前10个值。这些值建立在N=10和的基础上。具体地，我们需要求下式的数值为

图3-1　FreeForm中的线框建模

线框建模最大的特点就是利用点和线来表示形体的轮廓，而且可以通过这些线条的点和线构成，修改形体大小和形状。换句话说，虚拟模型可以说单单是形状的线框图，其中对应数学描述是曲线方程、点坐标的列表及其点线连接信息。那么，在这里连接的信息可以识别那些点、线及其线与线连接的端点。其线表示形体的时候，数据量较少，定义较为简单，对其进行编辑非常快，符合人的生活习惯。在较为复杂形体制作的过程中，人们通常习惯先勾勒出物体外部的轮廓，然后再进行细部的刻画。但是在进行形体轮廓非常复杂的形体制作的过程中，该建模的方法存在模糊性和歧义性，因而需要进一步的发展，包括多功能的混合性的发展。而虚拟油泥技术FreeForm弥补了这一缺陷。自从该技术诞生以来，其软件在设计的过程中能实现二维线和三维线的简单转变。不仅如此，也可以自由地编辑样条线，同时也可以自由地通过六面体上的二维线条的高度来确定三维线条的高度，由此解决了产品设计及其相关学科多方面的求解功能（如图3-1所示）。在阐述线框建模的具体特征，从如下三个方面来阐述了FreeForm的具体特征。

（1）2D线建构模型。

画2D线条的工具主要集中在Sketch工具栏下，其中有Select Sketch Object \Move，Rotate，Scale \Pencil \Erase All Pencil Marks \Freehand Curve 等19个工具。在这19个工具中，可以根据自己的需要选择合适的工具绘制图形。绘图前可以使用铅笔绘制草图，也可以直接选择直线、曲线和圆弧线等，根据需要来选择所需要绘制的图形。

从图3-2中可以清晰地看到虚拟油泥技术FreeForm由2D线制作模型的步骤。首先新建一个2D平面；然后选择Sketch工具栏下的Control Point Curve （在2D线上绘制2D曲线）和Line （在2D平面上绘制直线），绘制出一个封闭的轮廓线；接着选择Construct Clay工具栏下的Spin Clay （透过旋转轴周围的断面增加和减少黏土）；建好模型之后，也可以再次绘制封闭的轮廓线，按住旋转的工具，将建好的模型切割成三块。在这里是可以任意地绘制曲线，可以按照我心中想象的形态来绘制想要的形体，结合Construct Clay工具栏的运用，是可以创建想要的形体的。

图3-2　杯子制作及其切割的过程

（2）3D线建构模型。(www.daowen.com)

3D线绘制的工具主要集中在Curves工具栏下，其中常用的工具主要体现在Draw Curve （绘制3D线段）/Fit Curve （将绘制的3D线段贴复黏土）/ Smooth Curve （顺化3D曲线）/Flatten Curve （压平3D曲线）等多个工具。图3-3中是典型的利用3D线建构的模型。首先点击Curves工具栏下的Draw Curve （在空间中绘制3D线段），然后使用Helix （产生螺旋线）。完了之后，点击Construct Clay工具栏下的Pipe （依3D线段制作模型），然后完成螺旋状的线条。在这里使用这个工具，比单纯使用Toothpast （依工具大小增加黏土）要准确得多，单单使用依工具大小增加黏土难以达到自己想要的形体。同时，在使用的过程中工具的方向比较自由，控制起来相当困难。

这些值可以利用实时程序（即在Start Up.c）计算一次或者使用一些工具进行离线计算，比如一个手持式计算器、电子数据表程序或者Matlab。持续不断地重复所有10个值（以正确顺序），每间隔采样时间用一个值，将得出想要得到的4800Hz信号。

数字式谐振器

数字式谐振器技术基于的思想如下。如果查阅任何一个z变换表，你将发现：

使r=1（等价于画这些极点在单位圆上），等式简化为

图3-3　3D线建模的过程图