主成分分析(Principle Component Analysis,PCA)法可以把多个指标化为几个综合性指标,被广泛应用到各领域。在实际问题中,研究多指标(变量)问题时,不同指标之间具有一定相关性,由于多指标及指标之间有相关性,从而增加了分析问题的复杂性。PCA就是将原来具有一定相关性的指标,组合成的一组新的相互无关的综合指标来代替原来的指标。对近红外光谱进行主成分分析,能够达到对光谱矩阵进行降维的目的,不会过多地丢失光谱所含有的信息,同时还能够减少原始近红外光谱的冗余信息。
设样品观测数据矩阵为X,则PCA具体计算步骤如下:
其中,
该矩阵为n个样品p个波长上的光谱信息阵,记X的样品均值、样品协差矩阵以及相关阵分别为、S和R,通过由样品信息阵X出发,构造原各波长点光谱信息变量的线性组合但不相关,且具有最大的样品方差,就是构造样品主成分。
第一样品主成分=线性组合l′1Xj,满足‖l1‖=1,且l′1Xj的样品方差最大(其中,Xj为在新坐标系下的第j个观测值,l为其系数);
第二样品主成分=线性组合l′2Xj,满足‖l2‖=1及l′2Xj与l′1Xj样品协方差为0,且使l′2Xj的样品方差最大。
一般地,第i个样品主成分=线性组合l′iXj,满足‖li‖=1得l′iXj与l′kXj(k<i)的样品协方差为0,且使l′iXj的样品方差最大。
1)对原始数据进行标准化处理:
式中,;
。
2)计算样品相关系数矩阵:(www.daowen.com)
为了方便,假定原始光谱数据标准化后仍用X表示,则经过标准化处理的数据的相关系数为
3)求R的特征值(λ1,λ2,…,λp)及其相应的特征矢量ai=(ai1,ai2,…,aip),i=1,2,…,p。
4)选择重要主成分,并列出其主成分表达式。
通过主成分分析能够得到p个主成分,但是,由于各个主成分包含的信息量随着方差的递减而递减,所以在实际分析过程中,一般不选取p个主成分,而是通过分析各个主成分的累计贡献率大小来选取前m个主成分,贡献率是指某个特征值占全部特征值的比重,如下:
5)取前m个较大的特征值对应特征矢量来构成变换矩阵TT:
TT=(a1,a2,…,am)m<n (2-10)
6)通过
Y=TX (2-11)
计算前m个主成分,从而达到降低维数的目的,依据成分得分的数据,则可以进行进一步的统计分析。
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