同稳态扩散一样，一维扩散是指物质主要沿x或径向r方向扩散。

1.一维双向无限长物体中的扩散

无限长是指扩散区的长度（或厚度）远小于扩散物体的长度。通常一维扩散物体的长度大于4，D为扩散系数，t为时间。如图7.8所示，两个成分均匀的等截面棒材，长度符合无限长的要求。物质在A、B中的浓度分别为c2、c1。A、B结合在一起形成扩散偶。把坐标原点建在它们的界面处，设扩散方向为x正方向。随着时间的变化，界面（x=0）附近的浓度会发生变化，而远离界面处的浓度维持不变。据此，扩散微分方程简化为

非稳态扩散微分方程的求解，除了边界条件外，还需初始条件。设图7.8所示扩散的初始条件为

图7.8　一维无限长物体中的扩散偶浓度随时间t的变化

边界条件为

但求解此类方程不像求解稳态微分方程那么容易。人们常用分离变量法或相应的变换来对其进行求解（具体方法，请参阅数理方程的教材）。这里，我们直接给出结果：

其中erf（β）为高斯误差函数，β=。β与erf（β）之间的对应值列于表7.1中。对式（756）有以下分析。

表7.1　高斯误差函数erf（β）之值（β为0～2.7）（引自潘金生，2011）

注：最左侧一列为β的前两个数字（0.0～1.5），最上面一行为β的最后一位数字。例如要查β=0.98的erf（β）值，先在最左侧一列找到0.9所在的行，然后水平移到最上面一行8所对应的列，行列交叉处的数值为0.8342即为erf（0.98）之值。反之也可由erf（β）得β值。

（1）若已知c1、c2和扩散时间t，则可求出不同位置x处的浓度分布c（x，t）；若已知c1、c2和某时刻的浓度分布c（x，t），还可求出不同位置x处的扩散系数D。

（2）因为β=，所以在x=0的原始接触面上，β=0，即erf（β）=0，故此平面上的浓度为，且保持不变，即c（0，t）=。不同时刻的浓度曲线是关于中心对称的，如图7.8中t0，t1，t2对应的曲线。

（3）由式（7-56）可知，c（x，t）与β一一对应。β=，故c（x，t）与也存在对应关系：c（x，t）～。设K（c）是取决于浓度c的常数，则c（x，t）～可变为

式（7-57）为扩散的抛物线规律，其适用范围为不发生相变的扩散。

（4）当式（7-56）中的c1=0时（如异种金属的扩散，图7.8中，物质在B棒中的浓度为0），则

2.一维半无限长物体中的扩散

在图7.8所示的扩散偶中，如果A是一种液体、气体或薄膜等，则物质向B中的扩散可看作是在半无限长物体中的扩散。这种扩散的特点是表面浓度恒定、物体的长度大于4。比如，在金属表面渗碳、渗氮过程中，表面气体浓度在一定温度下是不变的；在真空除气时，物质从里面往外扩散，表面浓度为0；附着在玻璃或陶瓷表面的Ag在玻璃或陶瓷中的扩散也是这种情形。这里仍采用图7.8，只是没有左边的A。

初始条件：

边界条件：

求解微分方程方程后，得到物质在B中的浓度分布：(www.daowen.com)

若起始浓度c0=0，边界条件不变，则式（761）的浓度分布式变为

若起始浓度为c0≠0，而物质在周围环境中的浓度cs=0，边界条件不变，则式（761）的浓度分布式变为

例7.2 一块碳钢，其中碳的质量分数为0.1%。将其置于930℃下进行渗碳。在t＞0的全部时间内，渗碳气氛保持碳钢表面碳的质量分数为1%。假设扩散系数为1.67×10-7cm2/s。试计算：在离表面0.05 cm的地方，碳的质量分数达到0.45%时所需的时间。若要使离表面0.10 cm处碳的质量分数为0.45%，则所需时间又为多少？

解：（1）此种情况可看成是碳在一维半无限长物体中的扩散，故可应用式（7-61）求解。然而，题目所给的是质量分数而不是浓度，因此需做换算。物质的浓度是单位体积中物质质量或物质的量。这里我们用质量浓度。因碳钢中其他元素很少，我们假设碳钢中只有碳和铁。设在体积为V的碳钢中，碳的质量为mC，铁的质量为mFe，则碳的质量浓度为。而碳的质量分数wC可表示为

上式的分子分母同除以体积V：

其中分母项为碳钢的密度ρ；为碳的质量浓度，所以有×100%，故cC=wC×ρ。

（2）碳在钢中的浓度分布可用式（7-61）表示，用质量分数取代浓度后，得

在x=0.05 cm的地方，w（x，t）=0.45%，ws=1%，w0=0.1%，则

解得erf（β）=0.61。在表7.1中，查得β=0.61，即

解得t≈1×104s。

（3）要求0.10 cm处碳的质量分数达到0.45%的所需时间，解法同上：

解得t≈4×104s。

例7.3 碳的质量分数为0.85%的碳钢加热到900℃，在空气中保温1 h后，外层碳浓度降到零。假如要求零件外层的碳浓度达到0.80%，则表面应用车床应车去多少深度？扩散系数为1.1×10-7cm2/s。

解：这种情况符合式（7-63）的适用情形。同例7.2一样，cC=wC×ρ，故将式（7-63）改写为

碳的初始质量分数w0=0.85%，现求当w（x，t）=0.80%时，离表面的深度x

解得erf（β）=0.94，查表7.1，得β=1.33，即

解得x=0.053 cm。