1.平板中的扩散

在扩散系统中，任意一点的浓度Δ不随时间变化，即∂c/∂t=0，这种扩散为稳态扩散。设扩散系数D与方向无关，因D≠0，故2c=0。此时，扩散的偏微分方程式（7-18）变为

图7.4　一维稳态扩散示意图

若在平板中扩散时，物质主要朝一维方向进行，而朝其他二维方向的扩散很小，可以忽略。如图7.4所示，设物质主要沿x正方向扩散，则式（7-21）可变为

由于在此情形中，浓度c被当作只与x有关，因此式（7-22）变为常微分方程：

要解此常微分方程，需要边界条件。设图7.4中的边界条件为

求解式（7-23）：

将式（7-24）的边界条件代入式（7-27）得

将式（7-28）的h1代入式（7-26）得

再将式（7-29）代入Fick第一定律的式（7-6）得扩散通量J：

由于在稳态扩散中，各点浓度不变，故c1、c2为定值，而且材料厚度δ也是常数。故由式（7-30）可知，平板材料中的扩散通量J为一常数。那不同厚度之处，物质的浓度分布又如何呢？将式（7-28）代入式（7-27）得

因为c1、c2、δ不变，故根据式（731），我们可知浓度c在平板材料中的分布与位置x呈线性关系。图7.4中的AB直线示意了这种线性关系（假设c1＞c2）。

例7.1 渗碳可提高钢的表面硬度。奥氏体钢板（主要成分为γ-Fe）渗碳后，在距离其表面1 mm和2 mm处的碳原子的原子分数分别为5%、4%。试估算碳进入该区域的扩散通量［用原子个数/（m2·s）表示］。γ-Fe的相对原子质量为55.85、密度为7.63 g/cm3，扩散系数为2.98×10-11m2/s。

解：由于题中采用了原子分数，故在此题中，我们用物质的量浓度进行计算。由密度可得，1 cm3的体积中，Fe原子的物质的量为7.63/55.85 mol。由于碳原子在γ-Fe中的量很少，所以可近似认为：碳原子数+铁原子数≈铁原子数=7.63/55.85 mol/cm3。

当碳原子的原子分数分别为5%时，其物质的量浓度c1=5%×7.63/55.85 mol/cm3；

当碳原子的原子分数分别为4%时，其物质的量浓度c2=4%×7.63/55.85 mol/cm3。

在渗碳较长时间后，渗碳层的浓度近似不变，故此时可看成是稳态扩散，而且与工件的尺寸相比，渗碳层的厚度尺寸非常小。因此，碳原子向工件内部的扩散可简化为沿工件厚度方向的一维扩散，故可利用式（730）求得扩散通量：

再换算为原子个数：J=4.07×10-5×6.02×1023=2.45×1019个原子/（m2·s）

请读者在学习此例时，注意各数值的单位换算。

2.圆柱（棒、管）中的扩散

若扩散不是在平板中发生，而是发生在圆柱、圆棒或圆管中，则其浓度分布、扩散通量与平板中的有所不同。在这种情况下，用直角坐标表示的扩散微分方程式（7-17）不是很方便。故用x=rcosθ，y=rsinθ，z=z将式（7-17）改为柱坐标表示：

若扩散系数D为常数，则式（7-32）为

与平板中的扩散相似，若是稳态扩散，则∂c/∂t=0。再假设扩散主要沿径向方向进行，则为一维扩散，故一维稳态扩散的柱坐标偏微分方程变为

图7.5　物质在圆柱中的一维稳态扩散示意图

如图7.5所示，设边界条件为

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求解式（7-34）得

其中h1，h2为不定积分产生的常数。根据边界条件式（735）求出这两个常数后，式（7-37）变为

由式（7-38）可知，圆柱形材料中，物质的浓度分布是按照对数曲线变化，如图7.5中c1c2曲线。而在平板材料中，浓度分布是按式（7-31）所示的直线产生变化的。

将式（7-36）代入Fick第一定律，得

式（7-39）表明：圆柱形材料中，沿径向的扩散通量不是常数，而与半径有关。半径较大的地方，扩散通量小。我们再根据扩散通量的定义式（7-6）求出物质在一定时间内，通过一定面积的质量：

长度为L，半径为r之处的截面积为A=2πrL。故物质的扩散质量为

由上述可见，在长度一定的圆柱形材料中，若D为常数则dm/dt也是常数。将截面积为A=2πrL代入J的定义式：

图7.6　在1000℃时，碳在薄壁铁管中进行稳态扩散，其质量分数的分布（引自潘金生，2011）

由式（7-41）可知道dm/dt是一常数。因此，测定不同半径r处的浓度c，可由式（7-41）和式（7-42a）求出扩散系数D。若扩散系数D是一常数，则式（7-42b）中dc/dlnr也应该是一个常数，即浓度c和lnr的图形应是一直线。图7.6为碳在铁管中的wC-lnr图。该图表明wC-lnr的关系不是线性关系。这是因为D并不是常数，它与浓度等因素有关。

3.球壁中的扩散

材料在结晶的初期，晶核很小，可看作是球形。因此，球形晶核的生长就为球壁扩散。与圆柱中的扩散采用柱坐标相似，在球壁扩散中，人们采用球坐标，x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ，则式（7-17）的扩散偏微分方程可用球坐标表示为

若扩散系数D为常数，则式（7-43）变为

若是稳态扩散，则∂c/∂t=0。再假设扩散主要沿径向方向进行，则为一维扩散，故一维稳态扩散的球坐标偏微分方程变为

如图7.7所示，设边界条件为

令dc/dr=y，求解常微分方程（745），得

图7.7　物质在球壁中的一维稳态扩散示意图

根据边界条件（7-46）求出这两个常数h1，h2后，式（7-48）为

由式（7-49）可知，球壁中的浓度分布与半径倒数1/r有关。将式（7-47）代入Fick第一定律，得

沿径向的扩散通量也不是常数，也与半径有关。同样，我们

也可根据扩散通量的定义式（7-6）求出物质在一定时间内，通过一定面积的质量：

在半径为r之处的球面积为A=4πr2。由此可得，物质的扩散质量为

若D为常数，则dm/dt也是常数，即在单位时间内，通过任何一个球面的物质质量是一样的。球形晶核在生长初期，浓度分布曲线不变，且晶核很小，扩散范围大，即r2≫r1，故

以上为物质的稳态扩散情况。然而，在扩散过程中，浓度场各点的浓度往往要随时间变化，即∂c/∂t≠0。这属于非稳态扩散。下面介绍两种简单的非稳态扩散微分方程的求解。