从晶向观点看，图2.17中晶棱AE、DH、CG、BF与通过晶体中心的O′O都是一个方向。因此，我们可用晶带轴O′O的晶向把图2.17中的四个晶面联系起来。这也是Weiss定律陈述的内容之一。图2.17中ADEH、DCGH、BCGF、BFEA面组成一个晶带，该晶带轴O′O方向的晶向符号表示为［rst］。

1.晶带轴定理的证明

（1）因为晶带轴O′O∥晶带上的所有晶面，所以晶带上的所有晶面（hkl）位于晶带［rst］上。从空间解析几何的观点看，晶带轴方向［rst］与晶面（hkl）平行，所以［rst］代表的向量与（hkl）的法线相垂直。［rst］的向量为

图2.38　晶带轴定理的证明示意图

（2）晶面（hkl）法线向量n的求解：

因为晶面符号是用晶面在晶轴上的截距系数的倒数比表示的，所以（hkl）晶面在晶轴x、y、z上的截距系数分别为1/h、1/k、1/l。如图2.38所示，晶面M1M2M3在x轴上的交点为M1（1/h，0，0），y轴上的交点为M2（0，1/k，0），z轴上的交点为M3（0，0，1/l）。M1M2M3面的法线向量为n。因为两个相交的向量决定一平面，所以先找两个向量：

这两个向量的叉积为它们决定的平面的法线向量n。

又因为向量a=ri+sj+tk与平面的法线向量n垂直，所以a与n的点积为0，即

即

等号两边同乘以hkl即得

式（2-20）为晶带轴定理或晶带方程。

例如，图2.34的立方晶体在［001］晶带上有四个晶面与之平行。这四个晶面的符号是。它们都符合hr+ks+lt=0的关系。但另外两个面（001）、不在［001］晶带上，故不符合hr+ks+lt=0的关系。请读者自己检验。

2.根据hr+ks+lt=0关系式，还可做如下运算和推导：

（1）求晶面（hkl）和晶面（mnp）所决定的晶带［rst］

因为晶面（hkl）、（mnp）都在晶带上，有

以上两式可写成矩阵形式：(www.daowen.com)

根据齐次线性方程组的解法，得

将t=代入hr+ks+lt=0中，得

综上所述，r∶s∶t=（pk-ln）∶（ml-ph）∶（hn-mk）

此比例可写成行列式值之比：

为记忆、理解方便，我们可分别把h、k、l、m、n、p写两次，排成两排，如下：

rst的比值只取竖线中间的值，按照行列式计算方式获得，如其中的表示pk-ln。比如求（100）与（010）所决定的晶带：

求得r=0，s=0，t=1，因此晶带符号应为［001］。

（2）求位于晶带［rst］和晶带［mnp］相交处的晶面（hkl）

因为（hkl）晶面在两个晶带上，所以

方法同上，有

即h=sp-nt，k=tm-pr，l=rn-ms。

比如求位于［010］和［001］两晶带相交处的晶面。

求得h=1，k=0，l=0，即（100）面。

晶带轴定理或晶带方程主要用于单晶体的X射线衍射、电子衍射的数据分析。