面角守恒定律把晶体恢复到了理想形态，再加上整数定律的提出，于是人们发现晶体在一定的动作下有相同的面、棱重复出现。于是对矿物晶体外形对称性的研究也就迅速发展起来。这类研究在数学的帮助下使晶体的对称理论在19世纪中后期得以成熟。

关于对称（symmetry），我们并不陌生：衣服的花纹、房间的装饰品、周围的建筑、树叶、花等都有对称现象。人类为什么那么喜欢对称呢？一个原因是人们认为对称体现了各部分比例之和谐美。球的对称性最高，所以古希腊很多学者都喜欢球。那个时候，他们就已把地球及其他天体看成是球形。另外，如果有一台仪器，今天上午10：00使它正常工作。三天以后，上午10：00在同样条件下也使它正常工作，这与对称有关吗？一个原子可以用同一类的另一个原子来替换，这也与对称有关吗？其实，这些也是对称。

那究竟什么是对称？从本质上说，对称不是数字，也不是形状，而是一种变换（transformation）。如果一个物体或其性质经变换后与先前相同，那这个变换就是对称。比如常见的图形对称：正方形转动90°后，看起来与先前是相同的，故转动是一种变换。(www.daowen.com)

对称理论的发展其实不是通过几何学演变的。它是从解代数方程发展起来的。读者应该解过一元一次、一元二次甚至某些特殊的一元三次方程。这些方程早就有了求解方法或公式，但人们一直没有找到求解一元五次方程的代数公式。1821年，一个年轻人Niels Henrik Abel（1802—1829年）证明了五次方程无法用代数方法求解，但他没有真正解释为什么。揭示五次方程为何不可能用代数方法求解的是另一个年轻人Évariste Galois（1811—1832年）。Galois方法表明Abel提出的“不可能”来自方程的对称性。如果方程的对称性通过了Galois检验，方程就有代数公式求解。反之，就没有代数公式来解这个方程。一般的五次方程都没有代数公式可以求解，因为它们的对称性有问题。Galois的发现引出了一个叫群的概念。他把代数这一古老数学改造成了研究对称的工具。经发展后，群论这门学科就形成了。19世纪末，俄国结晶学家、现代结晶学奠基人Evgraf Stepanovich Fedorov（1853—1919年）用群论方法导出了晶体结构一切可能的对称要素的组合共230个，称为230个空间群（space group）。现在，空间群已成为晶体结构，尤其是晶体物理学研究的基础。20世纪初，群论进入基础物理学。本教材只讨论晶体在几何方面的对称。