梁抗弯和抗剪强度计算：钢材理想弹-塑性体假定

时间：2023-06-22 理论教育 版权反馈

【摘要】：所以，梁的抗弯强度计算仍然采用钢材为理想弹-塑性体的假定。梁截面上最大剪应力发生在腹板中和轴处，所以抗剪强度计算式为式中 Smax——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩；fv——钢材的抗剪强度设计值。

（1）梁截面弯曲正应力的发展阶段梁截面受弯矩M_x作用时，其上、下边缘正应力σ最大。截面弯矩从零逐渐增加时，截面上的正应力发展可分为三个阶段，即弹性阶段、弹塑性阶段以及塑性阶段。

1）弹性阶段。当作用在梁上的弯矩M_x较小时，其截面边缘应力σ＜f_y，全截面材料为弹性，应力与应变成正比关系，而此时截面上应力成直线分布。弹性阶段的极限情况如图4-4b所示，此时的弯矩承载力为

M_xe=fyWnx （4-2）

式中 W_nx——梁的净截面对中和轴x的截面模量。

2）弹塑性阶段。当弯矩M_x继续增加，截面边缘应变ε＞f_y/E时，截面边缘材料已经屈服，其截面出现了塑性区，此区高度为a（0＜a＜h/2）。因为此范围的钢材已经屈服，所以此区域上的正应力均等于f_y，而此时中间截面部分材料仍保持为弹性，应力与应变成正比，如图4-4c所示。

3）塑性阶段。当弯矩M_x继续增加，梁截面的塑性区不断向内发展，到最后全截面达到塑性，弹性区域完全消失，如图4-4d所示。此时，梁的抗弯承载能力达到极限。此后M_x将不再继续增加，但变形继续增加，形成“塑性铰”。塑性工作阶段的最大弯矩为

M_xp=f_y（S_1nx+S_2nx）=f_yW_pnx （4-3）

式中 S_1nx、S_2nx——中和轴以上、以下净截面对中和轴x的面积矩；

W_pnx——净截面对x轴的塑性模量，W_pnx=（S_1nx+S_2nx）。

图4-4 梁受弯时各阶段的截面正应力分布

（2）截面形状系数γ_F 塑性阶段的最大弯矩M_xp与弹性阶段的最大弯矩M_xe之间的比即为截面形状系数，用γ_F表示，即

γ_F值的大小反映了截面可利用塑性的程度，其值取决于截面的几何形状，并且同材料的性质无关。一些截面的γ_F值如图4-5所示。

2.梁的弯曲正应力强度计算公式

钢梁受弯时，其正应力-应变曲线相似于其受拉时，屈服点也相差不多。所以，梁的抗弯强度计算仍然采用钢材为理想弹-塑性体的假定。

图4-5 截面形状系数

a）矩形截面 b）圆形截面 c）环形截面 d）带翼缘截面 e）工字形截面 f）箱形截面

在截面上、下边缘应力达到屈服点f_y之前，材料处于弹性阶段，梁截面满足平截面假定（图4-4a）。梁按照弹性设计时，是把截面纤维屈服作为极限状态，其强度条件计算式为

式中 M_x——绕梁截面z轴的弯矩；

f——钢材的抗弯强度设计值；

W_nx——梁截面对z轴的净截面模量；

f_y——钢材的屈服强度；

γ_R——材料抗力分项系数。

计算梁的抗弯强度时，考虑截面塑性发展会节省钢材，但如果按照截面形成塑性铰来设计，可能使梁的挠度过大，受压翼缘会过早的发生局部失稳。所以，梁截面钢材的塑性只能有限度地进行利用，依据《钢结构设计规范》（GB 50017—2003）规定，取塑性发展深度a≤0.125h。梁按塑性方法设计的抗弯强度计算公式为式（4-6）、式（4-7）。

受单向弯矩（M_x）作用的梁：

受双向弯矩（M_x、M_y）联合作用的梁：

式中 M_x、M_y——绕x轴和y轴的弯矩；

f——钢材的抗弯强度设计值；

W_nx、W_ny——截面对x轴和y轴的净截面模量；

γ_x、γ_y——截面对x轴和y轴的塑性发展系数，各种截面塑性发展系数的取值见表4-1。

表4-1 截面塑性发展系数γ_x、γy

截面塑性发展系数γ_x与γ_y的选用应注意下列几方面。

1）为防止梁在失去强度之前受压翼缘局部失稳，《钢结构设计规范》（GB50017—2003）规定：宽厚比满足时，应取γ_x=1.00。b、t分别为梁受压翼缘的自由外伸宽度及厚度；f_y为钢材屈服点（不分钢材厚度）。

2）直接承受动力荷载且需要进行计算疲劳强度的梁，如重级工作制吊车梁，塑性深入截面将使钢材发生硬化，致使疲劳断裂提前出现，应取γ_x=γ_y=1.0。

3.梁的抗剪强度

一般情况下，梁既承受弯矩，又承受剪力。工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图4-6所示。

图4-6 腹板剪应力

a）工字形截面梁腹板剪力分布 b）槽形截面梁腹板剪力分布

梁在主平面内受弯时，其横截面上任一点处的剪应力计算式为

式中 V——计算截面沿腹板平面作用的剪力；

S——计算剪应力处以上毛截面对中和轴的面积矩；

I——毛截面惯性矩；

t_w——腹板厚度。(www.daowen.com)

梁截面上最大剪应力发生在腹板中和轴处，所以抗剪强度计算式为

式中 S_max——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩；

f_v——钢材的抗剪强度设计值。

当梁的抗剪强度不足时，最有效的办法是增大腹板的厚度t_w。

4.梁的局部承压强度

当梁的翼缘受有沿腹板平面作用的集中荷载，并且该荷载处又未设置支承加劲肋，通常认为集中荷载从作用处以45°角扩散，均匀分布于腹板边缘局部范围之内（图4-7），腹板计算高度上边缘局部承压强度计算式为

式中 F——集中荷载，对动力荷载应考虑动力系数；

ψ——集中荷载增大系数，对重级工作制吊车梁，ψ=1.35；对其他梁ψ=1.0；

l_z——集中荷载在腹板计算高度上边缘的假定分布长度，计算式为

l_z=a+5h_y+2h_R （4-11）

a——集中荷载沿梁跨度方向的支承长度，对吊车梁可取为50mm；

h_y——自梁顶面至腹板计算高度h₀上边缘的距离；

h_R——轨道的高度，对梁顶无轨道的梁h_R=0；

h₀——腹板的计算高度，对轧制型钢梁为腹板与上、下翼缘相接处两内弧起点间的距离；对焊接组合梁为腹板高度；对铆接或高强度螺栓连接组合梁，为上、下翼缘与腹板连接的铆钉或高强度螺栓线间最近距离。

图4-7 局部承压腹板边缘压应力分布

a）固定集中荷载作用在无支承加劲肋处 b）移动集中荷载作用在无支承加劲肋处

在梁的支座处，当不设置支承加劲肋时，也应按上式计算腹板计算高度下边缘的局部承压强度，但取ψ=1.0；支座反力的假定分布长度应根据支座具体尺寸，可按式（4-11）计算。

5.折算应力计算

在组合梁的腹板计算高度边缘处，如果同时受有较大的正应力、剪应力以及局部压应力，或同时受有较大的正应力和剪应力，如连续梁支座处或梁的翼缘截面改变处，其折算应力计算式为

式中 σ、τ、σ_c——腹板计算高度边缘同一点上同时产生的正应力、剪应力和局部压应力，τ和σ_c应按式（4-8）和式（4-10）计算，σ应按式（4-13）计算：

σ和σ_c以拉应力为正值，压应力为负值；

I_n——梁净截面惯性矩；

y₁——计算点至梁中和轴的距离；

β₁——计算折算应力的强度设计值增大系数，考虑到计算折算应力的最大值仅发生在梁的局部范围，对梁的不利影响不大，故采用提高钢材强度设计值的办法予以考虑。当σ与σ_c异号时，取β₁=1.2；当σ与σ_c同号或σ_c=0时，取β₁=1.1。

在主平面内受弯的实腹梁，其抗剪强度计算式为

式中 F_v——计算截面沿腹板平面作用的剪力；

S——计算剪应力处以上毛截面对中和轴的面积矩；

I——毛截面惯性矩；

t_w——腹板厚度

f_v——钢材抗剪强度设计值。

型钢梁因腹板较厚，一般均能满足抗剪强度要求，若最大剪力处截面无削弱，则可不必进行计算。

【例4-1】如图4-8所示的热轧钢普通工字钢简支梁，梁上翼缘作用有均布荷载设计值q=35kN/mm（包括自重），该梁为支撑于主梁顶上的次梁，未设置加劲肋，跨中无侧向支承，支承长度a=100mm，荷载标准值q_k=27.69N/mm，梁的型号为36a，材料为Q235B，跨度为6m。W_x=875cm³，I_x=15800cm⁴，t_w=10mm，h_y=t+r，此处：t=15.8mm，r=12mm，f=215N/mm²。试试验算此梁的强度。