对于所有含间隙的机械系统，间隙的存在会引起机构运动精度与动态性能的下降，直到不能满足机构的使用要求而失效。由于转动副间隙的存在，转动副元素会在机构运动过程中发生接触碰撞，使得转动副元素之间产生较大的碰撞力，并引起机构的振动。在高速、重载工况下运行的机构中，转动副间隙对机构动态特性的影响会更加明显[54-55]。含间隙机构动力学特性是评价高速重载机械压力机稳定性的重要指标。基于上述原因，国内外广大学者和专家自20世纪以来都致力于含间隙机构动力学建模与分析的相关研究，并取得了大量的研究成果[56-58]。这些研究主要围绕接触碰撞动力学研究、含间隙机构动力学建模方法研究和含间隙机构动力学特性研究三个方面展开，本节也将从这三个方面对含间隙机构动力学研究现状进行详细的综述。

1.3.1.1　接触碰撞动力学研究

接触碰撞是含间隙机构的典型现象，研究转动副元素之间的接触碰撞特性是含间隙机构动力学的基本研究内容之一。因此，转动副间隙接触碰撞动力学模型的研究对含间隙机构动力学特性分析有重要的理论意义。

对接触碰撞过程的正确处理是解决接触碰撞动力学问题的关键，国内外学者针对多体系统接触碰撞动力学进行了大量的研究。接触碰撞动力学的分析方法可归纳为两种，离散分析方法和连续分析方法。离散分析方法假定碰撞物体之间的接触碰撞过程非常短并且没有改变碰撞体的整体构型，接触碰撞过程被分为碰撞前和碰撞后两个阶段，并且碰撞后两碰撞体之间发生相对滑动、滞止或反向运动，离散分析方法忽略了接触碰撞过程行为，是一种相对有效的分析方法。而连续分析方法则认为碰撞体之间的相互作用力在整个接触碰撞过程中是连续的，考虑了碰撞体的接触碰撞过程，该方法比较符合实际的接触碰撞行为，特别是在接触碰撞过程中考虑摩擦影响的场合较为合理，因此连续分析方法也被称为基于受力作用的分析方法。在该方法中，当检测到有接触碰撞发生时，就采用一种接触碰撞力模型来描述两个物体发生接触碰撞时接触面的法向接触碰撞力。

目前关于接触碰撞的建模方法，按照接触过程的不同假设主要可以归纳为以下三种方法：动量平衡方法、连续接触碰撞力模型和有限元方法。

（1）动量平衡方法。

动量平衡方法也称为经典碰撞模型，是在碰撞体刚性假设条件下建立的一种近似理论，属于离散分析方法。早期动量平衡方法主要应用在多刚体系统的正碰撞问题中，并且在应用动量平衡方法进行接触碰撞过程分析时做了相应的假设条件，主要包括：将接触碰撞过程忽略，即两体碰撞是在瞬间完成的，不考虑物体接触碰撞过程的持续时间，并且将接触碰撞过程中的摩擦作用忽略，认为物体之间的接触面是光滑的。除此之外，还假设接触碰撞过程为点碰撞并且在碰撞过程中始终不变。在应用动量平衡方法对多刚体之间的接触碰撞分析时，基于以上假设条件外，还需要引入接触碰撞过程中的恢复系数，用来反映接触碰撞过程中的能量损失并确定碰撞后系统广义速度的跃变。随着研究的深入，部分学者认为只要选取足够的广义坐标，动量平衡方法也可以用来研究柔体系统之间的接触碰撞问题，而且具有一定的普遍性。由于动量平衡方法引入了接触碰撞过程中的恢复系数，因此恢复系数的正确选取是动量平衡方法求解接触碰撞问题的前提，也是最主要参数。相关研究表明影响恢复系数的因素很多，其中包括碰撞体的材料特性、几何形状、质量特性、相对速度等。

（2）连续接触碰撞力模型。

由于动量平衡方法属于离散分析方法，没有考虑接触碰撞过程，从而无法得到接触碰撞过程中的接触碰撞力。但是接触碰撞过程中的接触碰撞力变化规律对工程实际问题非常重要，工程设计人员也非常关注接触碰撞过程中的接触碰撞力变化历程，为此有必要建立一种能够求解接触碰撞过程中接触碰撞力大小和方向变化特征的连续接触碰撞力模型，连续接触碰撞力模型考虑接触碰撞过程中的局部变形，并假设接触碰撞力是由碰撞体的局部接触变形产生的，假定变形限制在接触区的邻域，是一种以弹簧阻尼系统代替接触区域复杂变形的近似简化方法。弹簧接触碰撞力一般通过Hertz接触理论来计算，而接触碰撞过程中的能量损失行为通过阻尼器来模拟，连续接触碰撞力实际上将几何约束转换为力约束，切断了原本的连接铰。到目前为止，众多学者已经提出了多种不同的接触碰撞力模型，主要是将接触力学中某些理论（如Hertz接触理论）运用到低速碰撞领域得到的。由于这些接触碰撞力模型是在静态接触条件下得到的，并且考虑的是特殊的边界条件和几何形状，因此只能分析碰撞速度较低的接触碰撞问题，并难以分析接触碰撞物体具有一般的几何形状与通用的边界条件情况。

（3）有限元方法。

有限元方法为接触碰撞过程中局部变形的准确描述提供了一种较为精确的方法，该方法充分地考虑了接触碰撞过程中的局部变形，建立碰撞体接触后准确的动态边界条件，并进一步利用复杂的接触算法，计算接触碰撞过程中接触碰撞力的时间历程与空间分布规律。因此，该方法对接触碰撞问题的处理更符合弹性接触碰撞的物理本质，并克服了前两种模型的缺点，避免了连续接触碰撞力模型中选取参数比较困难，以及动量平衡方法不能获得接触碰撞过程中接触碰撞力的问题，相对前两种方法而言更加精确。但由于有限元方法处理接触碰撞过程的复杂性和计算效率等原因，目前还没有应用到含间隙机构的接触碰撞力模型研究中。

在1990年，Lankarani和Nikravesh[59]以两小球接触碰撞过程为研究对象，考虑了接触碰撞过程中的能量损失，建立了一种连续接触碰撞力计算模型，随后很多学者采用该模型进行不同情况下的接触碰撞问题研究。Flores和Ambrosio[60]考虑了转动副元素之间的接触碰撞条件，并基于Lankarani-Nikravesh接触碰撞力模型建立了含间隙转动副的数学模型。同时，Lankarani-Nikravesh接触碰撞力模型在连续接触和非连续接触状态下分别进行修正，并将其引入平面机构多体动力学方程中。白争锋等[61]针对传统接触碰撞力模型的局限性，基于弹性变形理论建立了一种转动副间隙连续接触碰撞力混合模型，并与传统模型进行了详细的对比分析。田强等[62]考虑了润滑效应影响，基于弹性动力学理论建立了转动副间隙接触碰撞力模型，研究结果表明柔性体可以减小转动副元素之间的接触力。Gummer和Sauer[63]基于非线性弹簧阻尼接触碰撞力模型研究了碰撞过程不同状态间运动元素间的关系，使得含间隙机构动力学特性研究更加精细。Alves和Peixinho[64]对黏弹性接触碰撞力模型进行了详细的研究，结果表明接触碰撞力模型建模方法对含间隙机构动力学影响很大。此外，马佳等[65]对Lankarani-Nikravesh接触碰撞力模型和Coulomb摩擦力模型进行了修正，并以曲柄滑块机构为对象进行了模型有效性验证。

1.3.1.2　含间隙机构动力学建模方法研究

多体系统动力学是研究多体系统动力学特性与动态行为的工程应用基础学科，在复杂机械、航空航天、机器人等领域有着广泛的应用。多体系统是指多个实体通过铰链连接构成的具有一定拓扑结构的系统。多体系统动力学主要是从多刚体动力学和多柔性体动力学两个方面进行研究的，研究的主要内容是多柔体系统动力学的建模方法和求解策略，目前主要包含以下几种建模方法。

（1）牛顿-欧拉法（Newton-Euler method）。

牛顿-欧拉法是建立在牛顿-欧拉方程经典刚体动力学上的矢量力学方法。该方法建立方程较为容易，物理概念非常明确，对于简单拓扑系统有很好的实用性，并且该方法具有较好的开放性和可扩展性。缺点是当随着拓扑结构的复杂及组成物体的增多，系统间的约束将变得异常烦琐，不利于分析求解。

（2）拉格朗日方法（Lagrange method）。(www.daowen.com)

拉格朗日方法是目前应用最广泛的方法之一，把整个系统看作统一的对象，以能量的观点建立基于广义坐标的动力学方程，从而避开了力、速度和加速度等矢量的复杂运算，并且拉格朗日方法适用于多约束的处理，通过拉格朗日乘子计算可以得到多体系统间的约束反力。

（3）凯恩方法（Kane method）。

凯恩方法可以不通过寻求系统的动力学函数而直接建立系统的不带乘子的动力学方程。凯恩方法通过引入偏速度和偏角速度，不必计算动能等动力学函数及其导数，推导计算比较规范，既适用于完整约束也适用于非完整约束，兼有矢量力学和分析力学的优点。但计算广义速率、偏角速度与偏速度较为复杂，且没有明显物理意义。

此外，进行含间隙机构动力学特性分析的重要前提是对含间隙机构建立准确有效的动力学模型。早期学者对含间隙机构的研究多属于运动学分析，主要研究含间隙机构的运动误差分析等，国内外学者从20世纪70年代初期开始对含间隙机构动力学开展了相关研究。最初，有学者针对转动副间隙提出了一维冲击副模型，随后又提出了一维冲击杆模型和二维冲击环模型，并基于所提出的模型对含间隙机构进行了大量的研究，取得了一系列的研究成果，进而针对转动副间隙，逐渐创立了一套较为完整的研究体系。纵观国内外学者在这方面的研究工作，根据不同假设而开展的含间隙机构动力学建模方法主要可以归纳为以下三类。

（1）基于“接触—分离”的二状态模型。

该模型是一种定量的分析方法，假设含间隙转动副元素存在接触和分离两种状态，即按照接触状态和自由状态进行研究，比较容易和各种机构动力学问题相联系。该模型的优点在于比较符合含间隙转动副的实际情况，因为该方法在建模过程中考虑了接触表面的弹性和阻尼。但是基于该模型对含间隙机构动力学问题进行数值计算时比较复杂，这是由于在数值计算时，必须时刻检测转动副元素的相对运动关系，进一步确定转动副构件的运动状态，也即分析含间隙转动副是处于接触状态还是分离状态，因此计算时比较烦琐。除此之外，应用该模型对考虑多间隙的机构进行动态特性计算时很难得到系统的稳态解。

（2）基于“接触—分离—碰撞”的三状态模型。

基于上述研究成果，有学者进一步提出了三状态模型，该模型扩展了碰撞与分离二状态模型，将含间隙转动副之间的相对运动关系在一个机构运动周期中分为“接触—分离—碰撞”三种运动状态，进一步基于含间隙转动副的三种运动状态来建模。相关试验研究表明该模型考虑了含间隙转动副元素之间相对运动的碰撞过程，碰撞过程引入了越来越小的接触和分离，直到转动副元素恢复到持续接触状态。通过引入碰撞过程，间隙模型更加符合含间隙机构转动副的实际运动情况，使得含间隙机构转动副元素之间的相对运动关系更加精细。因此，三状态模型的优点是建模比较精细，能够真实准确地反映出含间隙机构的实际运动情况。由于建模过程考虑含间隙转动副的运动状态较多，为此在应用该模型时的难点在于准确地确定发生碰撞的时间及准确地判断含间隙转动副元素之间相对运动状态的转换，存在一定的数值计算难度。此外，三状态模型只能通过冲量来衡量机构运行过程中含间隙转动副元素之间的冲击速度，不能获得含间隙转动副的接触碰撞力，而且该模型在数值计算时求解不稳定，难以应用于考虑多间隙的机构动力学问题分析中。

（3）基于“连续接触”的连续接触模型。

由于在实际过程中转动副间隙的尺寸很小，转动副元素的接触与碰撞时间也非常短暂，为此连续接触模型假设转动副元素始终处于连续接触状态，认为碰撞与分离是瞬间完成的。为了便于数值计算，将间隙等效为一根无质量定长的刚性杆，忽略了接触表面的弹性变形，并且当其方位角在机构运行过程中发生突变，则认为在该时刻含间隙转动副元素之间发生了分离。该模型将原含间隙机构转化为无间隙的多杆多自由度系统，进一步可以利用拉格朗日原理建立系统的运动微分方程。该模型的优点是可以方便地得到含间隙机构的稳态解，并且容易用来分析考虑多个间隙时的机构动力学特性。但该模型忽略了转动副元素接触表面的弹性变形，不能真实地反映含间隙机构转动副的接触碰撞特性，有待进一步研究。因此，含间隙机构动力学建模方法及动力学求解方法一直是研究的热点问题。

Ravn[66]提出了一种含间隙平面机构多体动力学建模方法，该方法将含间隙转动副模型引入机构的动力学分析模型中，并通过试验验证了该方法的有效性。田强等[67]提出了一种含间隙机构多体动力学建模方法，并进行了机构的动力学仿真，计算结果表明该方法可以有效地描述转动副元素间的相对位置关系。Flores等[68]基于连续接触碰撞力模型建立了含间隙平面四连杆机构的多体动力学模型，并进行了动力学分析。段玥晨和章定国[69]以柔性多体系统动力学理论为基础，考虑非线性耦合变形和接触力势能的影响，利用假设模态法和Lagrange方程建立了含间隙多体系统的刚柔耦合动力学方程。许立新等[70]基于多体动力学理论和Hertz接触理论，提出了一种考虑轴承与柔性特性影响的多体动力学系统建模方法。以曲柄滑块机构为对象，研究了间隙及柔性特征对机构动态误差的影响。郭惠昕[71]考虑杆长制造误差和转动副间隙的影响，采用复数矢量法建立了有效杆长模型，并提出了一种平面连杆机构的优化设计方法。白争锋和赵阳[72]基于弹性接触碰撞理论，提出了一种含间隙机构动力学建模方法，该方法可以描述转动副元素间的磨损现象。吴洪涛等[73]采用多体动力学软件RecurDyn建立了含间隙高速机械压力机传动机构的刚柔耦合模型，研究了转动副间隙对压力机击振力的影响。赵波等[74]基于绝对节点坐标法建立了柔性部件的多体动力学模型，将连续接触碰撞力模型引入机构的动力学模型中，并对含间隙转动副的磨损进行了预测分析。Erkaya和Uzmay[75]以平面四连杆为研究对象，提出了一种考虑间隙和柔性构件的建模方法，通过机构动态特性测试验证了该方法的有效性。

1.3.1.3　含间隙机构动力学特性研究

学者在对含间隙机构建模研究的同时，还对含间隙机构动力学特性进行了研究。有学者利用Poincare映射及其初值敏感特征来分析含间隙机构的非线性动力学特征，并利用非线性动力学理论（如混沌、分叉等）来合理地分析与解释，虽然含间隙机构非线性动力学分析过程相对比较简单，但是在对含间隙机构动力学的理论研究方面取得了一定的突破。

对含间隙机构动力学许多关键问题的研究，如间隙接触碰撞机理、含间隙机构动力学特性等，使得含间隙机构动力学特性的研究涉入非线性动力学领域中，对分叉、混沌等含间隙机构运动中所产生的非线性现象进行深刻认识和研究成为未来机构动力学研究发展的一个重要分支。

由于转动副间隙引起的接触碰撞运动过程是一个分段变化的瞬态过程，所以对含间隙机构进行控制，需要采取分步参数、分段控制的策略。另外，对于这类非线性动力学现象的控制还需依赖于含间隙机构动力学与现代控制理论及分析方法。目前，关于如何减轻或消除机构中间隙所引起的不良效应，即控制间隙对机构影响的研究工作已经开展。

Dubowsky等[76]研究了转动副间隙和柔性构件对平面机构动力学特性的影响，研究结果表明间隙的存在对机构动力学特性影响很大。Schwab等[77]以曲柄滑块机构为对象，考虑了润滑效应的影响，建立了含间隙机构动力学模型，研究结果表明润滑效应可以减小转动副元素之间的接触力。张义民等[78]将误差分析理论、优化技术与虚位移原理相结合，研究了转动副间隙对平面机构位姿的误差影响。基于Lankarani-Nikravesh接触碰撞力模型分析，Flores[79]研究了间隙尺寸、曲轴转速及间隙数量等因素对曲柄滑块机构动态特性的影响。赵阳[80]等以四连杆机构为对象，将含间隙转动副间隙的接触碰撞力模型引入机构的多体动力学方程中，对含间隙机构进行了动力学特性分析。隋立起等[81]以汽车起重机为研究对象，采用多体系统传递矩阵法建立了该系统的刚柔耦合动力学模型，通过试验验证了该模型的有效性，并分析了起吊过程中柔性梁的冲击应力分布。Muvengei和Kihiu[82]考虑了间隙数量对机构动态特性的影响，研究结果表明间隙数量对机构动态特性的影响不可忽略。郑恩来等[83]以高速机械压力机传动机构为对象，研究了间隙尺寸和曲轴转速对高速机械压力机动态性能的影响。