基于动量守恒定律、动能守恒定律及介质的本构方程，并结合小振幅近似，固体弹性介质中的波动方程^[137]为

式中，ρ为材料密度；为质点位移对时间的二阶导数；x为质点位移方向；cijkl为弹性系数矩阵；u为质点位移；f_i为作用在介质上的体力分量；i、j、k、l为张量下标，式（2-1）及以后的公式中的下标满足哑指标规则。

式（2-1）为有源声波动方程。当不存在外力作用时，无源声波动方程为

式（2-2）主要用于超声波在半无限大介质中的传播。

超声波在各向同性和各向异性固体介质中的传播特性不尽相同，在各向同性介质中，引入拉梅常数，波动方程可以改写为

式中，λ、μ为拉梅常数，▽为矢性的Hamilton微分算子，分别为沿着x轴、y轴、z轴正向的单位矢量，利用亥姆霍兹分解，将位移矢量u表示为标量的梯度和零散度矢量的旋度，即(www.daowen.com)

u=▽φ+▽×H （2-5）

则声场方程式（2-3）可分解为两个简单的声场方程式（2-6）和式（2-7）

式中，c_l和c_t分别为各向同性固体中两种体波——纵波和横波的速度。

超声波是超声频率的机械振动在弹性介质中的一种传播过程，它服从机械波的一般规律，但亦有其特殊规律。对于已知力学参数的金属材料，给定边界条件和初始条件，超声波在材料中产生和传播的过程可由式（2-1）或式（2-3）来描述。运用解析法求解方程仅限于相当简单的工件几何形状、边界条件和初始条件，如果这些条件比较复杂，则分析工作将变得冗长，解析求解甚至不可能求得方程的解。在有限元模型中，将有限尺寸的探头激励作为载荷施加到相应的网格单元，这种情况下，由于探头激励是大小和方向变化的冲击载荷，并且载荷的作用时间很短，探头激励载荷与材料的相互作用过程具有瞬态特点，因此，可以把由式（2-1）和式（2-3）描述的问题作为瞬态动力学问题来分析。

下一节将根据虚功原理，推导波动方程的变分形式，继而根据变分形式的波动方程建立超声波在金属材料中产生和传播的有限元数值模型。