安装在断路器出口的电力设备，其杂散电容会对断路器的开断特性造成影响，因此，这里必须考虑FCL限流电抗的杂散电容。

当断路器开断失步故障时，FCL已经呈现为高限流感抗值，可将其等效为一个带有并联杂散电容的电感，如图7-15所示。其中，L_f和C_p分别表示电感型FCL的电感与杂散电容。

图7-15 FCL的等效模型

为简单起见，这里分析单相电路开断失步故障的情况，开断三相电路时只需乘以首开相系数即可。

开断失步故障的等效电路如图7-16所示。其中，G为电源，U_m为电源相电压幅值，U_p为电源相电压有效值；QF₁和QF₂为断路器断口；L_s、R_s和C_s为断路器电源侧的电感、电阻与对地电容；C_f为FCL的对地电容。L₁和C₁为线路侧的电感与对地电容。

若单位长度线路电感与对地电容分别为l₁与c₁，线路长度为s，则L₁=l₁s，C₁=c₁s，从而故障电流I_op可表示为

式中，ω为电源角频率。

图7-16 失步故障等效电路

在断路器的断口电弧熄灭之前，C_s与C_f经电弧连在一起。电弧电压一般很低，可认为C_s与C_f的电压u_A与u_B相等。当电弧电流过零时，u_A和u_B正好到达电压峰值U_Am与U_Bm：

由于瞬态恢复电压存在的时间很短，该时间内工频电源电压变化很小，可近似按常数U₀考虑，U₀=U_msinφ，φ为短路时功率因数角，由L_s、R_s和L_f决定。假定以断路器电弧电流熄灭作为时间坐标零点，即t=0，则电容器C_s两端的电压可以通过如下微分方程表示出来：

通常电阻R_s较小，u_A将以振荡形式出现。求解式（7-57）可得

u_A=U₀[1-e^-δt（a₁cosω₁′t+a₂sinω₁′t）] （7-58）

将起始条件t=0时，u_A=U_Am和i_A=0代入式（7-58），可求出积分常数a₁和a₂，整理后得到

式中，δ=R_s/2L_s，，。

由于电路中δ很小，满足ω₁′≈ω₁，且e^-δt≈1，则式（7-59）可简化为

由于U₀=U_msinφ，则u_A可近似用下式表示：

通常故障时的功率因数很低，cosφ<0.15，则sinφ≈1，φ≈π/2。

u_A=U_m-（U_m-U_Am）cosω₁t （7-62）

同理，在线路另一端：

u_C=u_D=-U_m+（U_m-U_Am）cosω₁t （7-63）

在线路两端的断路器断口电弧都熄灭后，它们之间的系统部分将会出现两个电压振荡。首先，由于杂散电容和对地电容的存在，FCL限流电抗上的电压u_FCL从U_Fm开始，会经历一个振荡过程，其振荡频率为。此时，FCL限流电抗上的电压为

u_FCL=U_Fmcosω₂t （7-64）

其次，由于输电线路具有分布参数特性，将在其上产生一个锯齿波的行波过程，其周期T₃为行波经过故障线路长度所需时间的4倍。忽略线路损耗，则行波的传播速度为，锯齿波的振荡周期为

输电线路电压u_L的初始值为U_Lm，经T₃/2时间后将降到-U_Lm。由此可得到u_L在初始1/2周期内的电压下降率为

则在一个初始周期内，u_L的电压变化方程式为(www.daowen.com)

根据上述分析，可以得到失步故障开断后断路器的恢复电压为

u_tr=u_AB=u_A-u_B=u_A-（2u_FCL+u_L+u_C） （7-68）

断路器断口的瞬态恢复电压上升率（RRRV）可表示为

RRRV=V_p/t_p （7-69）式中，t_p是达到恢复电压u_tr第一个峰值V_p的时间，V_p=u_tr|t=tp-u_tr|t=0。设T₁为电源侧电容电压的振荡周期，T₂为FCL限流电抗电压的振荡周期，T₃为故障线路行波电压的振荡周期，并将三者中的最小值记为min（T₁，T₂，T₃），则瞬态恢复电压起始部分的周期T₀即为min（T₁，T₂，T₃）。

一般情况下，因220kV线路较长，其电感与电容值较大，因此故障线路的行波电压振荡频率相对较低，满足T₁>T₃，T₂>T₃。当FCL的杂散电容较小时，满足T₁>T₂，则下式成立：

将式（7-62）、式（7-63）、式（7-64）、式（7-67）和式（7-70）代入式（7-68），可得到断路器断口恢复电压的第一个峰值为

由式（7-69）、式（7-70）和式（7-71），可得

将式（7-49）代入式（7-72），得到

若满足T₁<T₂，令

将式（7-74）代入式（7-68），可得到断路器断口瞬态恢复电压的第一个峰值为

由式（7-69）、式（7-74）和式（7-75），可得

将式（7-49）代入式（7-76），得到

式（7-73）和式（7-77）表达了失步故障开断后，断路器端口的瞬态电压上升率与限流比和系统参数之间的数量关系。

若系统中不安装FCL，即限流比为1时，则断口恢复电压的第一个峰值为

断口恢复电压到达第一个峰值的时间为

由于L_f=0，此时断路器的恢复电压上升率为

图7-17 恢复电压上升率与限流比的关系

下面针对220kV系统发生失步故障的情况进行计算分析。参数取为：U_m=180kV，L_s=10mH，R_s=0.1Ω，C_s=0.05μF，C_f=0.1nF，C_p=10nF，l₁=0.8mH/km，c₁=15nF/km，s=60km。发生失步故障时，可使用式（7-73）、式（7_-77）和式（7-80）得到恢复电压上升率（RRRV）与限流比α（0.1≤α≤1）的关系曲线，如图7-17所示。

由图7-17可见，随着FCL限流比的增大，失步故障开断后断路器的恢复电压上升率先增大后减小。限流比为0.3时，RRRV取得最大值为8.58kV/μs；而限流比为1.0时，即系统未安装FCL，RRRV取得最小值为4.24kV/μs。因此，从恢复电压上升率的角度考虑，FCL的安装，增加了断路器开断失步故障的难度。

为验证系统发生失步故障时，两端电源侧电容电压的振荡周期T₁、FCL限流电抗电压的振荡周期T₂、线路行波电压的振荡周期T₃之间的相对大小关系，针对失步故障，利用EMTP仿真还得到了断路器两端电压的变化曲线。以限流比α=0.5时的情况为例，断路器两端各个电压的变化曲线如图7-18所示。可以看出，由于T₂一般最小，其值决定了断路器瞬态恢复电压达到首峰值的时间。

图7-18 断路器两端的各个电压波形

瞬态恢复电压的最大值也是影响断路器开断特性的一个关键因素。失步故障发生后，会出现比较大的瞬态恢复电压，可能造成弧隙的重击穿，导致电弧重燃。利用式（7-68）可得到瞬态恢复电压最大值与FCL限流比的关系曲线，如图7-19所示。

由图7-19的计算结果可见，随着FCL限流比的减小，断口恢复电压的最大值也发生变化，呈整体上升趋势，此结果可为限流比的选择提供了参考依据。