在FCL出线处发生故障时，短路电流最大，其等效电路如图7-2所示，其中，G为电源，U_m为电源相电压幅值，U_p为电源相电压有效值；K为断路器断口；L_s、R_s和C_s为断路器电源侧的电感、电阻与对地电容；C_f为FCL的对地电容。

图7-1 FCL的等效分析模型

图7-2 FCL出线故障等效电路

由于短路时刻和线路参数等因素，短路电流中一般有非周期分量存在，因此可能加大断路器的开断难度。但限流器的安装已将短路电流的瞬态峰值抑制到较低水平；而且，仿真分析表明，非周期分量的存在一定程度上降低了断路器的恢复电压上升率。因此，研究中忽略了短路电流非周期分量的影响，采用故障电流的稳态模型进行分析。FCL出线故障时的短路电流稳态有效值I_ss为

式中，ω为电源角频率。

在断路器的断口电弧熄灭之前，C_s与C_f经电弧连在一起。若电弧电压很低，可认为C_s与C_f的电压u_A与u_B相等，当电弧电流过零时u_A和u_B正好到达电压峰值U_Am与U_Bm，则

由于恢复电压存在时间很短，在这样短的时间内工频电源电压变化很小，可近似按常数U₀考虑，U₀=U_msinφ，φ为短路时功率因数角，由L_s、R_s和L_f决定。假定以断路器电弧电流熄灭作为时间坐标零点，即t=0，则电容器C_s两端的电压可以由如下微分方程表示：

通常电阻R_s较小，u_A将以振荡形式出现，解式（7-3）可得

u_A=U₀[1-e^-δt（a₁cosω₁′t+a₂sinω₁′t）] （7-4）

将起始条件t=0时，u_A=U_Am和i_A=0代入式（7-4），可求出积分常数a₁和a₂，整理后得到

式中，δ=R_s/2L_s，，。

由于电路中δ很小，满足ω₁′≈ω₁，且e^-δt≈1，则式（7-5）可简化为

由于U₀=U_msinφ，则u_A可近似表示为

通常短路故障时的功率因数很低，cosφ<0.15，则sinφ≈1，φ≈π/2。

u_A=U_m-（U_m-U_Am）cosω₁t （7-8）

在FCL一侧，由于杂散电容和对地电容的存在，将与限流电抗发生振荡，其振荡频率为，此时断路器出口B点的电压为

u_B=U_Bmcosω₂t （7-9）

由上述分析可知，电弧电流过零熄灭后，断路器两端的电压U_A与U_B不再相等，触头两端电压即为恢复电压u_tr，即

u_tr=u_A^-uB=U_m-（U_m-U_Am）cosω₁t-U_Bmcosω₂t （7-10）

断路器断口恢复电压上升率（RRRV）可表示为

RRRV=V_p/t_p （7-11）

式中，t_p是达到恢复电压u_tr第一个峰值V_p的时间，V_p=u_tr|_t=t_p-u_tr|_t=0。设T₁为电源侧电容电压的振荡周期，T₂为FCL限流电抗的电压振荡周期，并将两者中的较小值记为min（T₁，T₂），则恢复电压起始部分的周期T₀即为min（T₁，T₂）。

t_p=T₀/2=min（T₁，T₂）/2 （7-12）

如果FCL侧杂散电容较小，满足T₁>T₂，则下式成立：(www.daowen.com)

将式（7-13）代入式（7-10），可得到断路器断口恢复电压的第一个峰值为

由式（7-11）可得到FCL出线短路时断路器恢复电压上升率的公式为

通过推导可以得到限流电抗和限流比之间的关系为

α=I_f′/I_f=L_s/（L_s+L_f） （7-16）

式中，I_f为安装FCL前的短路电流；I_f′为安装FCL后的短路电流。

由式（7-15）和式（7-16）联立可得

如果FCL侧的杂散电容足够大，满足T₁<T₂，则下式成立：

可得到断路器断口恢复电压的第一个峰值为

将式（7-18）和式（7-19）代入式（7-11），可得到FCL出线短路时断路器恢复电压上升率的公式为

由式（7-20）和式（7-16）联立可得到用限流比描述的断路器恢复电压上升率公式为

若系统中不安装FCL，即限流比为1时，则断口恢复电压的第一个峰值为

V_p=（U_m-U_Am）（1-cosπ） （7-22）

断口恢复电压达到第一个峰值的时间为

由于L_f=0，由式（7-2）可知U_Am=0，此时断路器的恢复电压上升率为

针对220kV系统发生三相短路的情况进行计算分析。关于等效分析模型中分布参数的取值，参阅了相关研究文献的结果[10-16]，将FCL的并联杂散电容和对地电容设置为nF级，较为切合实际。计算参数取为：U_m=180kV，L_s=10mH，R_s=0.1Ω，C_f=1nF，C_p=50nF。一般情况下，电源侧振荡频率为1kHz到20kHz，因此电源侧电容C_s应该为μF级。分别针对C_s=1.5μF和C_s=0.05μF，利用式（7-17）和式（7-24）可得到恢复电压上升率RRRV与限流比的关系曲线，如图7-3所示。

对于图7-2所示的出线故障，分别考虑C_s=1.5μF和C_s=0.05μF两种情况，当限流比α=0.5时，断路器两端电压的变化曲线如图7-4所示。电源侧振荡周期T₁和FCL限流电抗的电压振荡周期T₂共同决定了断路器恢复电压到达首峰值的时间。

图7-3 出线故障时恢复电压上升率与限流比的关系

图7-4 限流比α=0.5时，断路器两端电压变化曲线

由图7-3可见，随着限流比的增加，断路器的恢复电压上升率先增大后减小，变化趋势不恒定。若C_s=0.05μF，出线故障恢复电压上升率在限流比α=0.7左右取得最大值，即6.5kV/μs。此时的恢复电压上升率比220kV断路器标准规定的恢复电压上升率额定值（2.0kV/μs）的3倍还多，可能会存在断路器开断失败的潜在风险，因此需要在工程实用中采取合适的措施予以解决。若C_s=0.05μF，当限流比为1，即系统未安装FCL时，断路器的恢复电压上升率最低；限流比α=0.5左右时，恢复电压上升率取得最大值，即2.8kV/μs，同样高于断路器标准规定的恢复电压上升率额定值；因此，在系统中安装经济型FCL，将提高断路器断口的恢复电压上升率，从而会增大短路故障的开断难度。不过，断路器的开断负担同时取决于开断电流和恢复电压上升率，根据断路器的一般开断特性曲线，开断较小短路电流时可允许出现相对较大的恢复电压上升率，而安装FCL可有效降低开断电流。因此，设计FCL的限流电抗时，必须基于断路器的开断特性实验曲线，再根据式（7-17）或者式（7-21）确定较优的限流比，既保证将短路电流抑制到一定水平，又能保证断路器的可靠开断。