图4-27对比了从ab initio计算和连续体模型模拟所获得的应力-应变曲线。从图4-27中可以看出，高阶连续体模型预测出的y轴方向本构曲线与ab initio的计算结果较接近，基本能够准确预测出y轴方向的峰值应力，但加载方向（x轴）的本构曲线存在一定差异，通过高阶理论模型计算出的峰值应力值略高于ab initio的计算结果且比ab initio计算模拟提早到达峰值状态。尽管两种方法所求得的本构曲线没有完全吻合，但对比的结果仍是令人满意的，分析认为出现差异的原因是本专著所采用的高阶连续体模型：①基于弹性理论兼各向同性的线性软化损伤法制；②采用了理想化的均质几何模型。此外，为了简化起见，在计算中所采用的连续体模型的几何尺寸与ab initio计算所构造的原子模型尺寸不完全一致也是造成这两种方法的本构曲线存在差异的原因之一。

图4-28给出了在单轴拉伸条件下β-Si3 N4陶瓷晶体在不同阶段的球棍模型图。从图4-28中可以看出，各原子位置以及原子间结合键在不同的应变水平下的演变过程。为了在球棍模型图中展现连接键的演变过程，本专著根据原子间距来判别Si—N和Si—O键的断裂与否。在陶瓷晶体中，Si—O和Si—N键的键长分别是1.61Å（在α-SiO2中）和1.66～1.70Å（在各种氮氧化合物晶体中）（Ching，2004）。因此在球棍模型中，当原子间的距离超过了共价半径的总和时即认定原子间的连接键已经断裂。此外，图4-28（a）的应变水平0.069对应的是应力-应变曲线图4-27中峰值前线性部分中的一点，球棍图显示出结构发生的形变还非常微小。随着进一步的拉伸，当达到应变水平0.088时（对应峰值应力点），尽管晶体层内和IGF内部都尚未发生太大变化，但是在晶体和IGF的界面处却已有大量的连接键出现断裂[图4-28（b）]。应变水平0.108代表本构曲线中峰值后软化阶段的一点，从图4-28（c）可以看出，因承受巨大的拉伸作用，IGF内部已出现了空洞或“纳米断裂”，与此同时邻近的晶体层出现了反弹和卸载迹象。

图4-28　各阶段原子结构模型，应变水平分别为

（a）0.069；（b）0.088；（c）0.108

图4-29　用于局部应变场分析的网格示意图

R0的取值主要基于两项原则：①为了确保拟合过

程中局部位移梯度的解的存在性，必须保证最小的局部体积；②为了获得在IGF内具有最高分辨率的应变场，R0过大，将会忽略掉应变场的局部变化并且无法揭示在应力作用下IGF层的非线性行为；R0过小，又会忽略掉由附近原子的运动而造成的对应变的影响。因此在本专著的计算中，取R0=5.0Å。

此外，连续体模型是基于二维平面的，而ab initio计算是基于三维空间的，为了进行各应变分量轮廓的对比，还需要将ab initio计算的应变分量沿着x轴方向进行平均化从而得出y—z平面内的平均应变值。由于只是简单的平均化计算，对具体计算过程不再进行描述。

图4-30对比了高阶理论模型和ab initio计算两种方法模拟出的水平加载方向的应变分量ε11分别在峰值前、峰值应力时和峰值后失效阶段的分布情况。根据图4-27中的本构关系，所选的3个阶段的高阶理论连续模型的轮廓图对应的总应变水平分别为（a）0.067、（b）0.071、（c）0.086；ab initio计算的原子模型对应的3个阶段的总应变水平为（a）0.069、（b）0.088、（c）0.108。同样地，图4-31和图4-32分别对比了两种方法计算出的对应3个阶段的垂直轴向应变分量ε22和切应变ε12。

图4-30～图4-32表明连续体模型基本上能够准确复制ab initio原子模型模拟出的各个应变分量的演变过程，尤其是IGF内的应变局部化现象以及峰值后晶体区域的原子卸载反弹。IGF的存在使得应变在各个方向都发生了局部化现象，如图4-31所示，垂直方向的应变ε22在IGF区域形成了一种纵向拉伸和压缩交替出现的局部化带模式；同样地，从切应变ε12轮廓（图4-32）可以看出在IGF的附近也出现了交叉模式的局部化带。值得注意是，三幅对比图中连续体模型模拟出的各应变分量的局部化带都比ab initio模拟出的对应的局部化带窄，其原因可能是为了与连续体模型直接预测出的局部应变场结果进行对比，不得不对ab initio计算方法所得的全局应变场结果进行线性拟合。

图4-33（a）和（b）分别给出连续体模型在整个加载过程中损伤ω及水平应变分量ε11沿模型水平中心轴的分布演化曲线。这两幅图再现了整个加载过程中氮化硅模型中损伤带的出现、扩散以及晶体区域出现的卸载现象[图4-33（b）]。

图4-30　应变ε11的演化过程对比

（a）峰值前；（b）峰值；（c）峰值后失效阶段

图4-31　应变ε22的演化过程对比(www.daowen.com)

（a）峰值前；（b）峰值；（c）峰值后失效阶段

图4-34是高阶连续体模型计算出的高阶应变分量ε111和ε222分别在峰值阶段和峰值后失效阶段的轮廓图。随着局部化带的出现，IGF邻近区域开始出现非均匀变形，也即出现应变梯度。在峰值应力阶段，一对镜面对称的应变梯度带在IGF缺陷区的两侧萌生，如图4-34（a）所示。在失效阶段如图4-34（b）所示，在紧邻中心轴断裂裂纹的两侧局部化带演变到了极高的梯度值，而剩余的晶体材料部分应变梯度几乎为零，这印证了图4-30和图4-31中晶体区域发生的均匀应变现象。

图4-32　剪应变ε12的演化过程对比

（a）峰值前；（b）峰值；（c）峰值后失效阶段

图4-33　加载过程中连续体模型的演化曲线

（a）损伤函数w演化曲线；（b）轴向应变ε11沿水平中心轴的分布演化曲线

图4-34　连续体模型所得高阶应变梯度ε111和ε222轮廓图

（a）峰值阶段；（b）失效阶段