4.1.2.1　含单缺陷区的薄板

图4-10为二维空间的一个薄板模型，尺寸为40m×20m，薄板的左端边界条件与错位带模型（图4-1）相同，右边界受水平方向位移（Δu）控制的单轴压缩作用。为了激发剪切局部化带，设想在薄板的中心处有一边长为1m的正方形缺陷区域（阴影区）。薄板材料的杨氏模量E=20GPa，缺陷区的杨氏模量E缺陷=20%E，泊松比为ν=0.22，内长度尺度参数r=0.5m，损伤演化参数k0=10-4，ku=0.012 5。

图4-10　含单一内部缺陷的薄板模型——几何形状与边界条件（单位：m）

图4-11是在峰值应力阶段和峰值后失效阶段薄板内水平和竖直方向位移u、v的轮廓图。图4-11（a）和（b）分别对应施加的位移水平为-0.006 5m和-0.025 5m（负号表示受压应力作用）。在峰值应力阶段，中心缺陷区的存在触发了早期的局部化变形，见图4-11（a）中横向和纵向位移轮廓图中的深色区域。在失效阶段，从图4-11（b）中可以观察到一个非常清晰的以缺陷区为中心的“沙漏”形状的局部化变形带。值得注意的是，在水平方向，“沙漏”内部的位移值趋近于零，较大的形变均匀地分布在其外围部分；与此相反，y轴方向的变形主要集中在“沙漏”内部，且自中心向上下外边缘变形量递增，同时薄板剩余部分位移几乎为零。产生这一现象的原因是薄板在x轴方向承受压缩，随着剪切带的演化成熟，夹在两剪切带间的楔形在y轴方向经历近似刚体的运动。

图4-12分别给出了在峰值和失效阶段薄板模型水平轴向应变ε11和应力σ11的分布图，图4-13是对应两阶段的垂直方向的应变ε22和应力σ22分布图。图4-14则是对应的剪应变ε12和剪应力σ12的分布图。在峰值阶段如图4-12（a）所示，除了模糊可见的中心缺陷区外，整个薄板模型几乎呈现出均匀的变形，这表明剪切带的出现滞后于峰值应力的出现，也即在材料结构达到峰值应力时，剪切带尚未形成。随着进一步的加载，从图4-12（b）可以看到，应变轮廓中出现了以缺陷区为中心的两条倾角为±45°（相对于水平轴）、宽度约为2～3m的交叉剪切带，同时应力轮廓中对应呈现出“蝴蝶”形的剪切局部化带，这一局部化带的应力值接近于零，表征了峰值后出现的卸载现象。从应变轮廓图中可以看出，“x”形的剪切带在靠近薄板边界的地方呈现出略微的弯曲迹象，其原因可能是所用的计算模型在模型的边界处还存在着轻微的网格方向偏差（Cervera et al，2004）。经分析认为，这一方向敏感性可能来源于无网格伽辽金法中不得不使用的积分背景网格而并非来源于高阶应力-应变理论。如果采用其他一些既不需要离散单元网格也不需要积分背景网格的真正严格意义的无网格方法，如Atluri & Zhu（1998）提出的修正的无网格局部Petrove-Galerkin方法（MLPG）进行数值计算，那么模型将很可能彻底摆脱对于网格方向的偏差。然而，本专著之所以采用了无网格伽辽金法，是因为通过其中的最小二乘法获得的形函数，可以方便地满足高阶理论模型对于高阶连续性的要求，不仅可以从一定程度上简化高阶理论中近似函数的计算，而且能够在无需任何额外的自适应分析的前提下较为准确地模拟剪切带形成演化的整个过程。

图4-11　水平位移u和垂直位移v轮廓图

（a）峰值阶段；（b）峰值后失效阶段

图4-12　水平方向应变ε11和应力σ11轮廓图

（a）峰值阶段；（b）峰值后失效阶段

图4-13　竖直方向应变ε22和应力σ22轮廓

（a）峰值阶段；（b）峰值后失效阶段

图4-14　切应变ε12和应力σ12轮廓

（a）峰值阶段；（b）峰值后失效阶段

图4-15给出了高阶应变ε111及高阶应力σ111分别在峰值阶段和峰值后失效阶段的轮廓图。从图4-15（a）可以观察到，在峰值阶段无论是高阶应变还是高阶应力分布值都接近于零。随着剪切带的向外演化，沿剪切带的两侧附近应变梯度值迅速地增大[图4-15（b）]。

图4-16是计算出的高阶应变ε222及高阶应力σ222在峰值阶断和峰值后失效阶段的分布情况。

图4-17是薄板在峰值前、峰值、峰值后失效前、峰值后失效阶段的损伤演化过程，这4个阶段分别对应施加的总位移水平为（a）-0.006m、（b）-0.006 5m、（c）-0.007 5m、（d）-0.025 5m。从图4-17中可以看出，损伤起源于缺陷区，在达到峰值应力以前其发展速度较为缓慢，峰值应力后以“爆炸”式的速度迅速生长扩散从而导致材料很快失效。与此同时，薄板材料的剩余部分在整个加载过程中始终未发生任何损伤（ω=0），因此薄板对应区域始终承受均匀的形变。从图4-17（d）中同样可以看出，损伤值ω=1的区域的宽度约为2～3m。这一宽度值是模型所用的虚颗粒半径（也即内长度尺度参数）的4～6倍。

图4-15　高阶应变ε111和高阶应力σ111轮廓

（a）峰值阶段；（b）峰值后失效阶段

图4-16　高阶应变ε222和高阶应力σ222轮廓

（a）峰值阶段；（b）峰值后失效阶段

图4-17　薄板的损伤演化过程，分别对应垂直位移

（a）-0.006m；（b）-0.006 5m；（c）-0.007 5m；（d）-0.025 5m

为了进行对比，图4-18摘录了Cervera et al（2004）利用局部各向同性连续型J2损伤模型模拟的含圆形穿孔（半径为1m）的薄板在单轴拉伸下的损伤演化过程，分别对应施加的总位移水平为（a）0.010m、（b）0.015m、（c）0.020m、（d）0.025m。他们所用的对应的计算参数杨氏模量E=10MPa，泊松比ν=0.3，平均网格尺寸h=0.25m，薄板尺寸为20m×40m。尽管两幅图所采用的薄板模型及模拟参数有所不同，但本专著模拟出的含正方形性能缺陷区的薄板剪切带的损伤演化趋势与Cervera等模拟出的损伤演化趋势基本相同，这说明本专著所建立的高阶理论模型能够准确描述二维空间由剪切带引起的损伤行为。

图4-18　穿孔薄板的损伤演化过程，分别对应垂直位移(www.daowen.com)

（a）0.010m；（b）0.015m；（c）0.020m；（d）0.025m

为进一步考察模型在模拟剪切带时对于网格的尺寸和分布的依赖性的影响，在保持其他参数不变的情况下，另外采用总数为3 321（81×41）个均匀分布的场节点（节点间距h=0.25m）来离散问题区域并进行模拟计算，并与前面的总数为861（41×21）个场节点（节点间距h=0.5m）的计算结果进行对比。

图4-19　两种离散方案对比图

4.1.2.2　含双缺陷区的薄板

图4-20　含双缺陷区的薄板模型——几何形状与边界条件（单位：m）

图4-21是在峰值阶段和失效阶段总的有效应变ε和有效应力σ的轮廓图。两阶段对应的总的位移分别为-0.007m和-0.038m。在峰值阶段[图4-21（a）]尽管薄板的应力轮廓已经出现了早期的剪切带，薄板仍然经历近似均匀的总有效应变。当到达峰值后失效阶段时[图4-21（b）]，薄板中的双缺陷区引发了多条发展成熟的剪切带。此外，由于受剪切带的交互影响，位于两缺陷区中间的剪切带值比外围的剪切带值略低。这一现象在应力轮廓图中也较为明显，外围的局部化带卸载较彻底，而内部的局部化带卸载程度相对较小。

图4-21　总有效应变ε和总有效应力σ轮廓

（a）峰值阶段；（b）失效阶段

图4-22和图4-23分别是相对于x轴方向和y轴方向的总的有效高阶应变梯度和高阶应力梯度在峰值阶段和失效阶段的轮廓图。x轴和y轴方向的总有效高阶应变∂εIx和∂εIy的计算式分别如下：

如前所述，由于在薄板达到峰值阶段时总的有效形变仍然是接近均匀的，因此总的有效高阶应变梯度值可以忽略不计[图4-22（a）和图4-23（a）]。当薄板完全失效时，在图4-22（b）和4-23（b）所示的总的有效高阶应变轮廓中，沿着滑移线的两侧形成两个具有相反值的剪切梯度带，这从另一方面反映了应变局部化带的变化斜率。从有效高阶应力轮廓图也可以观察到局部化带以正负交替的模式出现在滑移线两侧，分别表明了应力集中和卸载现象。由于剪切带的交互影响，所以内部局部化区域的梯度值总是小于外部局部化梯度值。

（a）峰值阶段；（b）失效阶段

为了更直观地展现薄板的损伤过程，图4-24绘出了整个薄板区域在峰值前、峰值、峰值后失效前、峰值后失效阶段的损伤演化过程的轮廓。这4个阶段分别对应总的位移水平为（a）-0.006m、（b）-0.007m、（c）-0.009m、（d）-0.038m。从图4-24（b）和4-24（c）可以看出，在内部区域，剪切带出现了交叉趋势，这表明了由于两缺陷区的间距较近而造成的剪切带的交互作用。随着损伤的继续扩大，薄板可能沿着图4-24（d）中损伤值为1的剪切带出现滑动裂纹继而出现材料的断裂失效。

（a）峰值阶段；（b）失效阶段

图4-24　损伤演化过程图

（a）峰值前；（b）峰值；（c）峰值后失效前；（d）峰值后失效阶段