如图4-1所示，在二维空间构造一个矩形的薄板模型（100mm×42mm）。该薄板左侧边界中心点为铰链连接，上下端点水平方向固定。薄板在右端水平方向承受由位移控制的单轴拉伸作用，控制位移步长为Δu=0.001 25mm。为了引发局部化带，假设薄板的中轴线部位含有一个宽度为10mm的垂直缺陷区域（图4-1中阴影区域）。这样的缺陷区可以表征陶瓷材料中常见的纳米尺度的晶粒间似玻璃膜层（Misra et al，2007）。薄板材料的杨氏模量取为E=2×104 MPa（相当于砂岩），缺陷区的杨氏模量E缺陷=90%E；泊松比ν=0.22；损伤演化参数k0=10-4，ku=0.012 5；内长度尺度参数r=1.5mm。用无网格伽辽金法计算时，在整个模型中布置33×13个规则分布的场节点、14×8个矩形积分背景网格，采用四点积分规则进行高斯积分。计算模拟过程共计施加了27步增量位移使材料完全断裂失效。

图4-1　含垂直缺陷带的薄板——几何形状与边界条件（单位：mm）

本章中的所有模型计算均采用牛顿迭代法求解非线性的系统增量平衡方程。计算时，收敛的判别标准为（Reddy，2004）：

4.1.1.1　损伤演化过程模拟

图4-2是水平轴向应变ε11和应力σ11分别在变形的3个阶段：峰值前、峰值和失效阶段的分布轮廓图，分别对应总的拉伸位移为（a）u=0.01mm（第8步）；（b）u=0.012 5mm（第10步）；（c）u=0.033 75mm（第27步）。在峰值前的阶段[图4-2（a）]，薄板中心存在的缺陷区已经诱发了中心区域由内向外的早期损伤，从中心区出现的隐约可见的局部化带可以看出应变软化现象已经出现。随着进一步的加载，应变局部化带的宽度从约7mm[图4-2（a）]逐渐扩展到约20mm[图4-2（b）]。当达到峰值应力后，软化带的宽度基本上保持着不变直到最后断裂[图4-2（c）]，而软化带的应变值却增长了2倍多。从图4-2（c）还可以看出软化区的轴向应力σ11比峰值状态时对应的应力值降低了约17%，这一现象表征了材料的卸载过程。此外，从整个加载过程的应变轮廓图还可以看出，缺陷区以外的材料应变量几乎始终为零。

图4-3是对应以上3个变形阶段的纵向应变ε22和应力σ22的轮廓图。随着中心区域损伤的发展演化，侧向应变ε22从薄板的上下外缘逐渐向内形成局部化带。这一现象是预料之中的，因为当缺陷区承受水平方向递增的拉应力时薄板显然会发生纵向收缩。由于自由边缘所能承受的收缩力比内部材料结构所能承受的大，这使得薄板在直至最终的断裂阶段仍然保持一部分的纵向承载能力[图4-3（c）]。因此，侧向的压缩导致分别在薄板的中心区上下边缘形成了两个单独的尚未连通的弱区应变局部化带并且逐渐向内延伸。

图4-2　轴向应变ε11和应力σ11在3个特定阶段的演化轮廓图

（a）峰值前；（b）峰值；（c）失效

图4-3　轴向应变ε22和应力σ22分别在3个特定阶段的演化轮廓图

（a）峰值前；（b）峰值；（c）失效

图4-4是峰值阶段和失效阶段的总的有效应变和应力轮廓图。总有效应变ε和总有效应力σ的计算公式为：

式中：ε1、ε2为主应变分量；σ1、σ2为主应力分量。

图4-4　总的有效应变ε和应力σ

（a）峰值阶段；（b）失效阶段

从图4-4（b）可以看出一个明显的宽度约为20mm的局部化带，其中心的总有效应变达到了0.003 2。

图4-5是峰值前、峰值阶段和失效阶段的高阶应变ε111及其共轭高阶应力σ111的轮廓图。高阶应变ε111描述的是轴向应变ε11沿水平轴x轴方向的变形梯度。同理，高阶应力σ111描述的是轴向应力σ11沿水平轴x轴方向的应力梯度。如图4-5（a）所示，在加载初期，高阶应变梯度几乎可以忽略不计，表征薄板内的均匀应变状态。随着应变在缺陷区的逐渐局部化，在错位带的附近应变梯度开始形成并增长。当应力到达峰值阶段时，在缺陷区的两边形成了两个镜面对称的应力梯度带[图4-5（b）右]。在最后的断裂失效阶段，可以发现在紧邻断裂裂纹的两边缘形成了两个高度局部化的梯度带，而薄板剩余区域的应变梯度基本为零，这一现象正好印证了图4-2（c）中的轴向应变和应力分布。(www.daowen.com)

同样地，图4-6给出了高阶应变梯度ε222和高阶应力梯度σ222分别在峰值前、峰值阶段和失效阶段的分布情况，分别表征应变ε22和应力σ22的纵向梯度分布。

图4-7（a）和（b）分别是从加载初始至断裂的整个过程中沿薄板水平中心轴上的损伤ω和应变ε11的演化过程曲线。从图4-7中可以看出，伴随着中心缺陷区损伤的产生，应变局部化区开始形成，其宽度和数值都不断增长，当达到峰值应力状态后，局部化带的宽度停止增长，而局部化带的数值却继续增长直至材料最后完全断裂失效。

图4-5　高阶应变ε111及高阶应力σ111轮廓图

（a）峰值前；（b）峰值阶段；（c）失效阶段

图4-6　高阶应变ε222及高阶应力σ222轮廓图

（a）峰值前；（b）峰值阶段；（c）失效阶段

图4-7　整个加载过程演变图

（a）损伤参数ω；（b）轴向应变ε11沿水平中心轴演变过程

4.1.1.2　网格独立性研究

为了检验基于无网格伽辽金离散方法的高阶应力-应变模型的网格独立性问题，分别选用33×13和41×15两种节点分布方案来离散化薄板模型，模型中的其他所有参数均保持不变。图4-8是计算出的断裂失效阶段沿薄板水平中心轴的损伤对比曲线。从图中可以看出，两种离散方案所得的损伤曲线几乎完全一致，这表明基于无网格伽辽金法的高阶应力-应变模型在模拟薄板错位带时不存在网格的尺寸和分布依赖性的影响。

4.1.1.3　内长度尺度参数的作用研究

在正则化理论模型中引入内长度尺度参数的目的，一方面是弱化网格尺寸和分布所造成的负面影响；另一方面，更重要的是发挥局部化控制器的作用。其最直接的影响是控制应变软化局部化带的宽度，这一点已被很多学者研究过（de Borst er al，1991；Pamin，1994；Chang et al，2002）。本专著通过微观结构力学的方法将内长度尺度参数引入到高阶本构关系中，因此内长度尺度参数被赋予了长度尺度的物理意义。为了证明其对局部化带宽度的影响，在保持其他参数一致的条件下，分别采用了r=1.5mm、2mm和3mm三种内长度尺度参数进行计算模拟。参数r对于应变软化带宽度的影响可以从图4-9中看出，随着r的增大，局部化带的宽度从约30mm增加到了约50mm。

图4-8　离散方案对中心轴上损伤的影响

图4-9　内长度尺度参数对中心轴上损伤的影响