罚函数法施加本质边界条件的思路较为简单，需要将刚度矩阵中与已知边界条件的节点i相对应的对角线元素Kii变为α·Kii，其中α为罚系数，它的取值必须远大于刚度矩阵K中的所有元素值。引入罚系数后的刚度矩阵如下：

除了改变刚度矩阵外，还需要对全局力向量F中的分量Fi进行变换：

尽管罚函数法一般情况下只能近似地满足本质边界条件，从理论上分析，拉格朗日乘子法和罚函数法本质上并无差别，因其都是对所求问题的变分或者加权余量形式进行操作。然而，拉格朗日乘数的引入会增加求解矩阵的维数并且使模型的线性代数方程组结构出现异常。从拉格朗日乘子法得到的系统刚度矩阵会出现奇异性，为了求解线性系统，一般情况下都不得不采用特殊的求解程序。相比之下，罚函数法的计算较为简单，既不会增加未知数的个数又可以保证得到非奇异的系统刚度矩阵，而且只要选取的罚系数恰到好处，罚函数法一般都可以得到与拉格朗日乘数法精度一致的结果。这些优势使得罚函数法在实际中应用越来越广泛。

采用罚函数法施加位移本质边界条件后，高阶伽辽金弱式平衡方程变为如下形式（Yang et al，2010）：

同理，在式（3-66）中忽略了位移梯度本质边界条件项。利用变换：

因此式（3-66）等价于：

采用式（3-42）中的移动最小二乘近似对试探函数和测试函数进行离散化，并将其代入式（3-68）得到：

由于δup是任意值，上式只需满足以下平衡方程就能达到平衡：(www.daowen.com)

如前所述，使用罚函数方法施加本质边界条件的关键是选取合适的罚系数α。罚系数不仅对系统刚度矩阵的对角线元素产生影响，而且也会对对角线以外的元素产生影响。当对角线外元素被乘上一个极大的常数时，系统刚度矩阵会呈现病态。根据经验，罚系数一般取α=（103～107）×E，其中E是模型材料的杨氏模量。本专著中取α=106×{整体刚度矩阵Kps的对角线元素中的最大值}。

忽略二阶及其以上导数项可以得到：

其中切线刚度矩阵为：

将刚度矩阵表达式（3-72）和式（3-73）代入式（3-78）得到切线刚度矩阵表达式：

最终得出用罚函数法施加本质边界条件后的增量形式的高阶理论系统平衡方程：