拉格朗日乘子法施加的本质边界条件一般比较精确，因此已被广泛地应用到无网格方法中。Belytschko et al（1994）在提出无网格伽辽金法时便将拉格朗日乘子法用于其中施加本质边界条件。其基本思想是在弱形式平衡方程中引入一个拉格朗日乘数λ，这一系数相当于一个“智能力”，强制本质边界条件得到满足。因此，利用拉格朗日乘数λ引入式（3-39）中本质条件构造新的泛函时需要加入的相关项可以表示为：

式中：Γu为含本质边界条件的边界。

根据变分原理，将式（3-40）转换成变分形式引入到式（3-18）中可以得到含本质边界条件的变分形式的系统控制方程如下：

式（3-41）中试验方程u（x）∈H 1，拉格朗日乘数λ∈H 0，测试方程δu（x）∈H 1，δλ∈H 0。H 1和H 0分别表示1度和0度Sobolev空间。为了获得离散化的平衡方程，用无网格伽辽金法对试探函数和测试函数分别进行离散如下：

由于拉格朗日乘数也是空间坐标的未知函数，也需要对其进行插值，其插值形式如下：

n阶拉格朗日形函数的一般形式为：

如前所述，本专著略去高阶位移导数边界条件，仅考虑位移边界条件。将式（3-42）和式（3-43）分别代入式（3-41）可以得到离散化的系统平衡方程如下：

从式（3-47）可以分解出刚度矩阵向量Kps：

定义力向量Fp为：

因此，将式（3-50）和式（3-51）回代到式（3-47）可以得到：

式（3-50）表明刚度矩阵Kps本身也是位移场节点参数的函数，方程（3-52）为非线性方程，因此无法对其直接进行求解。选用牛顿迭代法求解非线性方程（3-52），首先定义残差R如下：

将残差（3-53）按泰勒级数展开式展开如下：

忽略式（3-54）中二阶及其以上的导数项可以得到：

同时拉格朗日乘数对应的切线矩阵为：(www.daowen.com)

将刚度矩阵式（3-50）代入式（3-56）中，最终得到高阶应力-应变模型的切线刚度矩阵表达式：

从式（3-58）可以看出，切线刚度矩阵是不对称的。其非对称性主要来自于损伤参数的引入而非高阶增强项造成的。Simo & Ju（1987）认为要想恢复切线刚度矩阵的对称性，只有采用特殊的局部有效应变。

联立式（3-57）～式（3-60）可以得到：

联立式（3-61）和式（3-62），最终得到采用拉格朗日乘数法施加本质边界条件后的矩阵形式的高阶理论系统增量平衡方程：

式中：N为场节点总数；nλ为本质边界点的总个数；Λ为本质边界上场节点的拉格朗日乘数节点值的集合。