从能量泛函出发推导出了强形式的高阶应力-应变理论的系统偏微分平衡方程式（3-9）。从偏微分方程式（3-9）可以看出，该方程最高项含有5阶导数，因此为了求解该方程，要求未知函数u的近似函数必须具有足够的相容性，也即至少5次可微才能够满足该方程的微分阶数要求。这无疑给近似函数的构造造成了极大的困难，显然是不切实际的。因此，需要寻求一种可行的方法，既能够降低近似函数的相容性要求，又可以保证获得唯一收敛的解。研究表明，在不违背数学原理和物理意义的基础上，通过在系统控制方程中引入积分符号所获得的弱形式平衡方程能够“弱化”对于近似函数的相容性要求。弱形式为求解复杂系统的近似函数提供了可行且多样化的方法。此外，基于弱形式的计算方程通常能够带来一系列稳定并且求解精度更高的离散化的系统平衡方程。

建立弱形式的方法多种多样，根据原理的不同，归纳起来可以分为变分方法和加权残差方法两类。其中伽辽金方法是目前有限元分析中应用较广的一种典型的加权残差类方法。其主要优势包括：①通过伽辽金方法获得的系统矩阵一般都具有对称性；②在许多情况下，伽辽金方法可以获得与能量原理一致的计算法则，因此具有一定的物理基础。伽辽金方法的主要特征是用来近似场函数的试探函数也同时被用作权函数。

本专著采用伽辽金方法建立弱形式系统平衡方程。在式（3-9）前面乘以一个测试函数δui对其进行弱化，并在空间Ω内进行积分可以得到：

在二维空间条件下，对上式中的第一项进行分部积分如下：

对第二项也进行分部积分可以得到：

将式（3-11）和式（3-12）回代到式（3-10）中并进行化简可以得到：

式（3-13）中的最高阶数仍然是5，因此需要继续对该式中的第二项、第四项高阶导数项进行分部积分。具体如下：(www.daowen.com)

以及

随后将式（3-14）和式（3-15）代入式（3-13），于是可以得到弱形式的积分方程为：

再利用以下变换

可以将式（3-16）化简为最终的系统弱形式平衡方程：

式中：Γt为含自然边界条件的边界。