从前面的分析和推导可知，一般情况下本构系数矩阵依赖于虚拟键的方向。由于虚拟键的方向一般都是未知参数且现阶段不可测的，因此只有在较为简单的加载条件下或者初始应变无限小以至于式（2-10）～式（2-13）中刚度分量Kn和Kw都简化为常数时，才能获得积分式（2-40）和式（2-41）的封闭解。将前一节中的刚度计算式（2-9）以及虚拟键的方向密度函数（2-42）分别代入到四阶和六阶本构张量积分式（2-40）和式（2-41）中就可以求得高阶本构系数的初始闭合解。考虑到零阶应力、应变张量的对称性，在只研究二维空间问题的情况下，可将本构方程（2-36）展开为：

式中：下标1、2分别表示空间坐标x和y。

联立式（2-2）、式（2-9）、式（2-40）、式（2-43），可以求得Cijkl各分量如下：

式中：a=2r 2 N/V表示材料的堆积结构密度。其他未明确给出的Cijkl分量均为零。

通过采用适当的虚拟键密度参数a20、a22和b22以及前文所推导的本构关系，可以推导出不同对称性材料对应的在不同方向上的性能参数，如杨氏模量E、泊松比ν、剪切模量G。例如，当材料为各向同性时，在无穷小的初始应变条件下，δn→0和δw→0，刚度分量（2-10）～式（2-13）简化为Kn=A和Kw=C。此时，材料性能只需用杨氏模量和泊松比来表征，借鉴文献（Mindlin，1964）的方法可以求得：

因此可以将Kn和Kw用杨氏模量和泊松比来表示：

将式（2-50）和式（2-51）代入到式（2-45）～式（2-47），可以获得用杨氏模量E和泊松比ν表示的零阶本构系数如下：

由此可以看出，所计算出的零阶本构系数与各向同性材料在平面应变条件下的胡克定律完全吻合。(www.daowen.com)

同理，在二维空间可将高阶本构方程（2-37）展开为：

采用同样的算法，联立式（2-2）、式（2-9）、式（2-41）、式（2-43），可以求得Dijqklm各分量为：

且满足以下关系：

将式（2-50）和式（2-51）代入式（2-56）～式（2-59）可以得到：

同样地，其他未单独列出的Dijqklm分量均为零。从以上推导过程可以得出以下结论：

（1）无需明确知道代表性体积元内的总的颗粒接触数量N和代表体积元体积V，式（2-50）和式（2-51）为直接利用杨氏模量和泊松比计算高阶本构系数矩阵提供了一种极其有用的方法。

（2）通过微观力学的方法自然地将表征微观结构的颗粒半径r引入到了高阶本构关系中，推导出的高阶本构系数与r的平方成正比。